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Enunciado

Elétrica - Sadiku - Fundamentos de Circuitos Elétricos- Ed: 5º - Capítulo 13.Problemas - Ex. 29

No circuito da Figura 13.9 8 , determine o valor do coeficiente de acoplamento k que fará que o resistor de 10   Ω dissipe 320   W . Para esse valor de k , determine a energia armazenada nas bobinas acopladas em t = 1,5   s .

Passo 1

Pessoal, a primeira coisa que devemos fazer é passra os elementos que está no domínio do tempo para o domínio da frequência.

L 1 = 30   m H   →     X L 1 = j ω L 1 = j 30

L 2 = 50   m H   →     X L 2 = j ω L 2 = j 50

E vamos chamar ω M = X

Passo 2

A impedância de entrada do circuito pode ser escrita da seguinte forma:

Z i n = 10 + j 30 + X 2 20 + j 50

Z i n = X 2 - 1300 + j 1100 20 + j 50

Vamos assumir que a corrente que circula na malha da esquerda é I 1 e da direita I 2 . Assim, a potência dissipada no resistor de 10   Ω é:

P 10 = 1 2 I 1 2 R = 320

640 = 10 I 1 2

I 1 2 = 64   →     I 1 = 8   A

Passo 3

Usando a lei de Ohm, a corrente I 1 será igual a:

I 1 = 165 ∠ 0 ° Z i n   →     Z i n = 165 I 1 = 165 8 = 20,625   A

Além disso,

Z i n 2 = X 2 - 1300 2 + 1100 2 20 2 + 50 2 = 20,625 2

X 2 - 1300 2 = 23632,8

X = 38,127 = ω M

M = 38,127   m H

Assim, o valor de k é:

k = M L 1 L 2 = 38,127 30 × 50

k = 0,984

Passo 4

Assumindo que as malhas da esquerda e ad direita tem correntes fluindo no sentido horário. Aplicando a lei das malhas na malha da esquerda, temos:

165 = 10 + j 30 I 1 - j 38,13 I 2 … 1

Aplicando a lei das malhas para a malha da direita,

0 = 20 + j 50 I 2 - j 38,13 I 2   →     I 1 = 20 + j 50 j 38,13 I 2 … ( 2 )

Substituindo a equação ( 2 ) em ( 1 ) ,

165 = 10 + j 30 20 + j 50 j 38,18 I 2 - j 38,13 I 2

Assim,

I 2 = 5,61 ∠ 7,96 °   A

Voltando esse resultado na equação ( 2 ) , temos que

I 1 = 8 ∠ - 13,84 °   A

No domínio do tempo,

i 1 t = 8 cos ⁡ 1000 t - 13,48 °   A

i 2 t = 5,61 cos ⁡ 1000 t + 7,96 °   A

Quando t = 1,5   s ,

i 1 t = 8 cos ⁡ 1000 1,5 ⋅ 180 π - 13,84 ° = - 2,76   A

i 2 t = 5,61 cos ⁡ ( 1000 1,5 ⋅ 180 π + 7,96 ° ) = 0,16   A

A energia armazenada nos enrolamentos é:

w = 1 2 L 1 i 1 2 + 1 2 L 2 i 2 2 - M i 1 i 2

w = 1 2 0,03 - 2,76 2 + 1 2 0,05 0,16 2 - 0,03813 - 2,76 0,16

w = 0,13174 = 131   m J

Resposta

O valor de k é igual a:

k = 0,984

A energia armazenada é igual a:

w = 131   m J

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