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Enunciado

Elétrica - Sadiku - Fundamentos de Circuitos Elétricos- Ed: 5º - Capítulo 8.Problemas - Ex. 61

Para o circuito do problema 8.5 , determine i e v pata t > 0 .

Passo 1

Galera, quando t > 0 , a fonte de corrente passa a fornecer uma corrente I_S = 4 A . A tensão no indutor se torna igual a:

v_L = L (d i_L)/(d t)

Como L = 1 H ,

v_L = (d i_L)/(d t) ... ( 1 )

A corrente que passa pelo capacitor pode ser calculada através de:

i_C = C (d v_C)/(d t)

Como C = 0,25 F ,

i_C = 0,25 (d v_C)/(d t) ... ( 2 )

A tensão no resistor de 4 Ω é a mesma do capacitor, pois estão conectados em paralelo!

Passo 2

Vamos aplicar a lei dos nós para o nó entre o indutor e o capacitor:

I_s = i_R 4 + i_C + i_L

Mas quem é i_R 4 ? Vamos descobrir pela lei de Ohm!

v = R i

v_C = R_4 Ω i_R 4

i_R 4 = (v_C)/(R_4 Ω) = (v_C)/(4)

Voltando na equação das correntes:

4 = (v_C)/(4) + 0,25 (d v_C)/(d t) + i_L ... ( 3 )

Aplicando a lei das malhas para a malha mais à direita:

v_L + v_R 6 = v_C

(d i_L)/(d t) + 6 i_L = v_C ... ( 4 )

Passo 3

Vamos substituir a equação ( 4 ) na equação ( 3 ) :

((d i_L)/(d t) + 6 i_L)/(4) + 0,25 (d)/(d t) ((d i_L)/(d t) + 6 i_L) + i_L = 4

Multiplicando toda a equação por 4 :

(d i_L)/(d t) + 6 i_L + (d)/(d t) ((d i_L)/(d t) + 6 i_L) + 4 i_L = 16

(d i_L)/(d t) + 6 i_L + (d^2 i_L)/(d t^2) + 6 (d i_L)/(d t) + 4 i_L = 16

(d^2 i_L)/(d t^2) + 7 (d i_L)/(d t) + 10 i_L = 16

A partir da equação anterior, conseguimos extrair a equação característica do circuito:

s^2 + 7 s + 10 = 0

As raízes são:

s_1 = - 2 ; s_2 = - 5 ... ( 5 )

Assim, i_L ( t ) é dada por:

i_L (t) = i_L (oo) + A_1 e^(s_1 t) + A_2 e^(s_2 t) ... ( 6 )

Sabemos lá do exercício 8.5 que i_4 Ω (oo) = 2,4 A . Logo,

i_L (oo) = 4 - 2,4 = 1,6 A ... (7)

Substituindo ( 5 ) e ( 7 ) na equação ( 6 ) :

i_L (t) = 1,6 + A_1 e^(- 2 t) + A_2 e^(- 5 t) ... (8)

Quando t = 0 ,

A_1 + A_2 = - 1,6 ... ( 9 )

Passo 4

Vamos derivar a equação ( 8 ) ?

(d i_L ( t ))/(d t) = (d)/(d t) (1,6 + A_1 e^(- 2 t) + A_2 e^(- 5 t))

(d i_L ( t ))/(d t) = - 2 A_1 e^(- 2 t) - 5 A_2 e^(- 5 t)

Quanto t = 0 ,

(d i_L (0))/(d t) = - 2 A_1 - 5 A_2

- 2 A_1 - 5 A_2 = 0 ... ( 10 )

Das equações ( 9 ) e ( 10 ) , nós podemos montar um sistema de equações para encontrar A_1 e A_2 .

{[[A_1 + A_2 = - 1,6],[- 2 A_1 - 5 A_2 = 0]])

A_1 = - (8)/(3) e A_2 = (16)/(15) ... ( 11 )

Desse modo,

i_L (t) = 1,6 - (8)/(3) e^(- 2 t) + (16)/(15) e^(- 5 t) ... ( 12 )

Passo 5

A tensão no resistor de 6 Ω pode ser obtida aplicando a lei de Ohm:

v_6 Ω = i_L R = 6 (1,6 - (8)/(3) e^(- 2 t) + (16)/(15) e^(- 5 t))

v_6 Ω = 9,6 - 16 e^(- 2 t) + 6,4 e^(- 5 t) V

Se derivarmos a equação ( 12 ) , teremos:

(d i_L)/(d t) = (16)/(3) e^(- 2 t) - (16)/(3) e^(- 5 t) ... (13)

Substituindo as equações ( 12 ) e ( 13 ) em ( 4 ) :

v_C (t) = (16)/(3) e^(- 2 t) - (16)/(3) e^(- 5 t) + 6 (1,6 - (8)/(3) e^(- 2 t) + (16)/(15) e^(- 5 t))

v_C (t) = 9,6 - (32)/(3) e^(- 2 t) + (16)/(15) e^(- 5 t)

Portanto, a corrente que flui pelo resistor de 4 Ω é igual a:

i_4 Ω = (v_C (t))/(R) = (1)/(4) (9,6 - (32)/(3) e^(- 2 t) + (16)/(15) e^(- 5 t))

i_4 Ω = 2,4 - (8)/(3) e^(- 2 t) + (4)/(15) e^(- 5 t) A

Resposta

A corrente e a tensão são iguais a:

i_4 Ω = 2,4 - (8)/(3) e^(- 2 t) + (4)/(15) e^(- 5 t) A

v_6 Ω = 9,6 - 16 e^(- 2 t) + 6,4 e^(- 5 t) V

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