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Enunciado

Elétrica - Sadiku - Fundamentos de Circuitos Elétricos- Ed: 5º - Capítulo 8.Problemas - Ex. 58

No circuito da Figura 8.104 , a chave se encontra na posição 1 há um longo tempo, porém, muda para a posição 2 em t = 0 .

  1. v 0 + , d v 0 + d t
  2. v t para t ≥ 0 .

Passo 1

Galerinha, na letra (a) queremos a equação característica do circuito. Bom, seja v a tensão no capacitor e i a corrente no indutor. No tempo t = 0 - , a chave está na posição 1 e o circuito em regime permanente, logo o capacitor se comporta como circuito aberto e o indutor como um fio. Portanto,

v 0 - = 4   V

i 0 - = 0   A

Quando t = 0 + , o momento seguinte a troca de posição da chave, nós continuamos a ter v 0 + = 4   V . O circuito passa a ser:

Assim, d v 0 + d t é igual a:

d v 0 d t = - v 0 + R i 0 R C = - 4 + 0 0,5 = - 8   V / s

Passo 2

Na letra (b) queremos v ( t ) para t > 0 . Nessa situação, temos um circuito RLC paralelo sem fontes. Vamos calcular α e ω 0 agora, para podermos escrever nossa equação característica!

α = 1 2 R C = 1 2 0,5 × 1 = 1

ω 0 = 1 L C = 1 1 0,25 = 2

Logo,

ω d = ω 0 2 - α 2 = 4 - 1 = 1,732

Portanto, a da tensão será igual a:

v t = e - t ( A 1 cos ⁡ 1,732 t + A 2 sin ⁡ 1,732 t )

Para t = 0 ,

v 0 = 4 = A 1

Se derivarmos a expressão para v ( t ) , teremos:

d v d t = - e - t A 1 cos ⁡ 1,732 t - 1,732 e - t A 1 sin ⁡ 1,732 t - e - t A 2 sin ⁡ 1,732 t + 1,732 e - t A 2 cos ⁡ 1,732 t

Quando t = 0 ,

d v 0 d t = - 8 = - A 1 + 1,732 A 2   →     A 2 = - 2,309

Nos levando a resposta final,

v t = e - t 4 cos ⁡ 1,732 t - 2,309 sin ⁡ 1,732 t   V

Resposta

  1. v 0 + = 4   V e d v 0 + d t = - 8   V / s
  2. v t = e - t 4 cos ⁡ 1,732 t - 2,309 sin ⁡ 1,732 t   V
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