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Enunciado

Elétrica - Sadiku - Fundamentos de Circuitos Elétricos- Ed: 5º - Capítulo 16.Problemas - Ex. 85

Um circuito tem a função de transferência a seguir H ( s ) = s + 4 ( s + 1 ) ( s + 2 ) 2

Determine a resposta ao impulso.

Passo 1

Bom, primeira coisa é lembrar que o Laplace de um impulso é 1.

Quando queremos a resposta ao impulso, fazemos a função de transferência vezes o Laplace do impulso, ou seja, vezes 1, então fica assim:

Y ( s ) = H ( s ) × 1

Logo, Y ( s ) = H ( s ) → y ( t ) = h ( t )

Passo 2

Agora, vamos aplicar o método das frações parciais para calcular H ( s ) no domínio do tempo, já que Y ( s ) = H ( s ) e queremos Y ( s ) ,

H ( s ) = A s + 1 + B s + 2 + C ( s + 2 ) 2

H ( s ) = A s 2 + 4 A s + 4 A + B s 2 + 3 B s + 2 B + C s + C ( s + 1 ) ( s + 2 ) 2

Como, H ( s ) = s + 4 ( s + 1 ) ( s + 2 ) 2 , então:

s + 4 ( s + 1 ) ( s + 2 ) 2 = A s 2 + 4 A s + 4 A + B s 2 + 3 B s + 2 B + C s + C ( s + 1 ) ( s + 2 ) 2

Passo 3

Vamos isolar os s 2 ,   s e os sem nada:

s + 4 ( s + 1 ) ( s + 2 ) 2 = s 2 ( A + B ) + s ( 4 A + 3 B + C ) + ( C + 2 B + 4 A ) ( s + 1 ) ( s + 2 ) 2

Logo, vamos ter que:

A + B = 0

4 A + 3 B + C = 1

C + 2 B + 4 A = 4

Assim, chegamos em A =   - B

e daí C - B = 1 e C - 2 B = 4

Logo, B =   - 3 , A = 3 e C =   - 2

É só um sistema bem simples, viu?

Então agora é substituir os valores encontrados:

H ( s ) = 3 s + 1 - 3 s + 2 - 2 ( s + 2 ) 2 ,   ∀   t > 0

Passo 4

Lembrando que temos essas 3 propriedades:

e - a t f ( t ) ↔ F ( s + a )

u ( t ) ↔ 1 s

t ↔ 1 s 2

Então, no domínio do tempo teremos:

h ( t ) = 3 e - t - 3 e - 2 t - 2 e - 2 t t ,   ∀   t > 0

Resposta

h ( t ) = 3 e - t - 3 e - 2 t - 2 e - 2 t t ,   ∀   t > 0

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