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Enunciado

Elétrica - Johnson, D. E., Hilburn, J. L., Johnson, J. R. - Fundamentos de Análise de Circuitos Elétricos, PHB- Ed: 4º - Capítulo 1.Problemas - Ex. 22

Uma corrente alternada

i   =   I   s e n   k t   A ,   t   >   0

=   0 ,   t   <   0

e fornecida a um elemento cuja tensão e v   =   a i ,   a   >   0 .

(a) Calcule a energia entregue ao elemento entre 0 e T segundos.

(b) Calcule o valor da corrente continua i   =   b   >   0 , que entrega a mesma energia que a corrente alternada de (a) em T   =   π / k segundos.

Passo 1

Falaaaa, galeraaaa! Vamos analisar o gráfico e utilizar:

- Da fórmula de potência: p = v ∙ i ;

- Da equação fundamental da reta: y - y 0 = m ( x - x 0 ) .

- Da relação entre potência e energia: p = d w d t ⇒ w = ∫ 0 t p d t ;

- Da relação entre corrente e carga: i = d q d t ⇒ q = ∫ 0 t i d t .

Passo 2

Letra a):

Para calcular a energia vamos usar a seguinte expressão

w = ∫ 0 t p d t

w = ∫ 0 T a ∙ i ∙ i d t = ∫ 0 T a ∙ i ∙ i   d t = ∫ 0 T a ∙ I   s e n   k t ∙ I   s e n   k t   d t

w = ∫ 0 T a ∙ I 2   s e n 2   k t   d t = a ∙ I 2 ∫ 0 T   s e n 2   k t   d t

Observe que:

s e n 2 A = 1 2 [ 1 - cos ⁡ 2 A ]

s e n 2 k T = 1 2 - 1 2 cos ⁡ 2 k T

w = a ∙ I 2 ∫ 0 T   1 2 - 1 2 cos ⁡ 2 k T d t

w = a ∙ I 2 ∫ 0 T   1 2 d t - a ∙ I 2 2 ∫ 0 T cos ⁡ 2 k T d t

w = a ∙ I 2 2 ∫ 0 T   d t - a ∙ I 2 2 ∫ 0 T cos ⁡ 2 k T d t

Integrando obtemos

w = a ∙ I 2 2 t 0 T - a ∙ I 2 2 ∙ 2 k s e n   ( 2 k t ) 0 T

Substituindo os limites de integração obtemos

w = a ∙ I 2 2 T - a ∙ I 2 2 ∙ 2 k s e n 2 k T = a T 2 2 T - 1 2 k s e n ( 2 k T )

w = a T 2 2 T - 1 2 k s e n ( 2 k T ) = ∫ 0 T a ∙ b ∙ b   d t

Devemos continuar simplificando

w = a T 2 2 T - 1 2 k s e n ( 2 k T ) = ∫ 0 T a ∙ b ∙ b   d t

w = a T 2 2 T - 1 2 k s e n ( 2 k T ) = ∫ 0 T a ∙ b ∙ b   d t

w = a T 2 2 T - 1 2 k s e n ( 2 k T ) = ∫ 0 T a ∙ b 2   d t

w = a T 2 2 T - 1 2 k s e n ( 2 k T ) = a ∙ b 2 t 0 T

w = a T 2 2 T - 1 2 k s e n ( 2 k T ) = a ∙ b 2 T

Passo 3

Letra b):

Temos que

i   =   b   >   0

T   =   π / k

Devemos então calcular o valor da corrente, obtendo o valor da variável b . Primeiramente, vamos substituir o valor de T .

w = a I 2 2 T - 1 2 k s e n ( 2 k T ) = a ∙ b 2 T π / k

= 2 k a I 2 - a I 2 s e n ( 2 k T ) 4 k = a ∙ b 2 ∙ π k

Simplificando, temos

= 2 k 2 a I 2 T - k a I 2 s e n ( 2 k T ) = 4 k a ∙ b 2 ∙ π

Isolando b 2

b 2 = 2 k 2 a I 2 T - k a I 2 s e n ( 2 k T ) 4 k a ∙ π

b 2 = k I 2 T 2 ∙ π - k I 2 s e n ( 2 k T ) 4 k ∙ π

b 2 = k I 2 π / k 2 ∙ π - k I 2 s e n ( 2 k π / k ) 4 k ∙ π

Como s e n   π = 0 :

b 2 = k I 2 π / k 2 ∙ π = I 2 2

Por fim, basta retirar a raiz quadrada da expressão, obtendo

b = I 2

Ufaaa! Prontinho!

Resposta

w = a ∙ b 2 T

b = I 2

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