Responde Aí
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Enunciado

Elétrica - James W. Nilsson, Circuitos Elétricos- Ed: 10º - Capítulo 12.Problemas - Ex. 24

Determine a transformada de Laplace para

(a) e (b).

a) f t = d d t e - a t c o s w t

b) f t = ∫ 0 - 1 e - a x   s i n   w x   d x

c) Verifique os resultados obtidos em (a) e (b), primeiro executando a operação matemática indicada e, então, determinando a transformada de Laplace

Passo 1

Beleza?! Espero que sim, e que esteja motivado pois hoje temos uma resolução perfeita com o padrão de qualidade que você só encontra no Responde Aí.

  1. Vamos começar consultado a tabela 12.2

    2. F s = s F s - f 0 -         ( 1 )

    Da tabela 12.1

    F s = s   +   a s + a 2 + w 2

    Substituindo em (1)

    F s = s s + a s + a 2 + w 2 - f 0 -

    = s s + a s + a 2 + w 2 - e 0 c o s 0

    =   s s + a s + a 2 + w 2   -   1

    = s s + a - s + a 2 + w 2 s + a 2 + w 2

    = s 2 + a s - s 2 + 2 a s + a 2 - w 2 s + a 2 + w 2

    = - a 2 - s a 2 - w 2 s + a 2 + w 2

    F s = - a 2 - s a 2 - w 2 s + a 2 + w 2

    Passo 2

  2. Da tabela 12.2,

    3. F s = F s s       2

    E da tabela 12.1

    F s = w s + a 2 + w 2

    Agora substituindo em (2)

    F s = w s s + a 2 + w 2

    Passo 3

  3. De (a), vamos derivar

d e e a c o s w t d t = - w e - a t s i n w t - a e - a t c o s w t

Agora usando a tabela 12.1 iremos encontrar essa monstruosidade

L - w e - a t s i n w t - a e - a t c o s w t = - w w s + a 2 + w 2 - - a s + a s + a 2 + w 2

=   - a 2 - s a - w 2 s + a 2 + w 2

Venho ai o verificado.

Iremos integrar em (b) utilizando integração por partes

u   =   e - a x

d v = s i n w x

Usando (3)

∫ 0 - t e - a x s i n w x d x   =   - e - a x c o s w x w   -   ∫ - c o s   w x w - a e - a x

= - e - a x c o s w x w + a w ∫ ( - c o s   ( w x ) ( e - a x )   4

Integrando ∫ ( - c o s   ( w x ) ( e - a x )   por partes

u = e - a x

d v   =   - c o s   w x

Temos então que

∫ ( - c o s   ( w x ) ( e - a x )   = e - a x - s i n   w x w - ∫ - s i n   w x w - a e - a x   ( 5 )

Aplicando (5) em (4)

∫ 0 - t e - a x   s i n   w x   d x   =   - e - a x c o s w x w   +   a w [   e ^ { - a x } ( - s i n   w x w )   -   ∫ - s i n   w x w - a e - a x

= - e - a x c o s w x w   -   a e - a x s i n w x w 2   -   a 2 w 2 ∫ e - a x s i n w x d x

Organizando a equação, ou pelo menos tentando

∫ 0 - t e - a x s i n w x d x   +   a 2 w 2 ∫ 0 - t e - a x s i n w x d x   = - e - a x c o s w x w   -   a e - a x s i n w x w 2

1 + a 2 w 2 ∫ 0 - t e - a x s i n w x d x = - e - a x c o s w x w - a e - a x s i n w x w 2

e - a x s i n w x d x ​ 0 - t = - a e - a t s i n w t - w e - a t c o s w t + w a 2 + w 2

= 1 a 2 + w 2 - a w s + a 2 + w 2 = w s + a s + a 2 + w 2 + w s

Verificadooo!

Resposta

Por favor, olhe o desenvolvimento!

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