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Enunciado

Elétrica - James W. Nilsson, Circuitos Elétricos- Ed: 10º - Capítulo 12.Problemas - Ex. 43

Determine f(t) para cada uma das seguintes funções:

Passo 1

Beleza pessoal?! Pegue seu lápis e papel pois essa resolução é memorável.

  1. O denominador tem 4 raízes que ocorrem quando s = 0 e outras 3 quando s = -3.

    2. F s = K 1 s + K 2 s + 3 3 + K 3 s + 3 2 + K 4 s + 3     ( 1 )

    Para obtermos K 1 , s = 0

    K 1 = 135 s + 3 3

      =   5

    Para obtermos K 2 , s   =   - 3

    K 2 = 135 s = 135 - 3

    =   -   45

    Para obtermos K 3 , iremos avaliar para s   =   - 3

    K 3 = d d s 135 s

    = s 0 - 135 s 2

    = - 15

    Para obtermos K 4 , iremos avaliar para s   =   - 3

    K 4 = 1 2 d d s - 135 s 2

    = 135 2 s 2 s 4

    = - 5

    Substituindo em (1)

    F s = 5 s - 45 s + 3 3 - 15 s + 3 + - 5 s + 3

    Da tabela 12.1

    f t = 5 - 22.5 t 2 e - 3 t - 15 e - 3 t - 5 e - 3 t u t

  2. O denominador aqui tem quatro raízes distintas das duas funções quadráticas, usando a fórmula quadrática, obtenha as duas raízes das duas funções quadráticas

    3. s 1,2 = - 2 ± 2 2 - 4 1 2 2 1

    = - 2 ± 2 j 2 = - 1 ± j

    A função pode ser expressa em frações parciais

    F s = K 1 s + 1 - j 2 + K 1 * s + 1 + j 2 + K 2 s + 1 - j + K 2 * s + 1 + j       ( 2 )

    Para obtermos K 1 devemos analisar F(s) para s = -1 + j

    K 1 = 10 - 1 + j + 2 2 - 1 + j + 1 + j 2

    = - 5 j

    Agora iremos obter a magnitude

    m a g n i t u d e = R e a l 2 + i m a g i n a r i a 2           3

      =   5

    Agora iremos obter o ângulo

    A n g u l o = t a n - 1 i m a g i n a r i a R e a l     ( 4 )

    =   ∠ - 90 º

    Assim

    K 1 = 5 ∠ - 90 º

    Sendo K 1 e K 1 * conjugados,

    K 1 * = 5 j = 5 ∠ 90 º

    Para obter K 2 , iremos analisar s     =   0

    K 2 = d d s 10 s + 2 2 s + 1 + j 2

    = s + 1 + j 2 20 s + 2 - 2 s + 1 + j 10 s + 2 2 s + 1 + j 4

      =   20

    Agora calculando a magnitude, de (3)

    m a g n i t u d e   =   5

    E para o ângulo, de (4)

    a n g u l o   =   ∠ - 90 º

    Assim

    K 2 = 5 ∠ - 90 º

    Desde que K 2 e K 2 * são conjugados

    K 2 * = 5 ∠ 90 º

    Substituindo em (2

    F s = 5 e - 90 t s + 1 - j 2 + 5 e 90 t s + 1 + j 2 + 5 e - 90 t s + 1 - j + 5 e 90 t s + 1 + j

    Da tabela 12.3, para K 1 e K 1 *

    f t = 2 K e - ∝ t c o s β t + θ u t

    f t = 2 5 t e - t t c o s t - 90 u t

    Agora da tabela 12.3, mas para K 2 e K 2 *

    f t = 2 5 e - t t c o s t - 90 º u t

    Assim,

    f t = 10 t e - t c o s t - 90 º + 10 e - t c o s t - 90 º u t

    Passo 2

  3. Divida o denominador pelo numerador até que o resto seja uma função racional adequada

    4. F s = 25 s 2 + 395 s + 1494 s 2 + 15 s + 54

    = 25 + 20 s + 144 s 2 + 15 s + 54

    Onde o termo 20 s + 144 é o numerador

    Escrevendo F s em frações parciais

    F s = 25 + K 1 s + 6 + K 2 s + 9       ( 2 )

    Para obtermos K 1 iremos avaliar para s = -6

    K 1 = 20 s + 144 s + 9

      =   8

    Para obtermos K 2 iremos avaliar para s = -9

    K 2 = 20 s + 144 s + 6

      =   12

    Substituindo em (5)

    F s = 25 + 8 s + 6 + 12 s + 9

    Da tabela 12.1

    f t = 25 δ t + 8 e - 6 t + 12 e - 9 u t

    Passo 3

  4. Divida o denominador pelo numerador até que o resto seja uma função racional adequada

F s = 5 s 3 + 20 s 2 - 49 s - 108 s 2 + 7 s + 10

= 5 s - 15 + 6 s + 42 s 2 + 7 s + 10

Onde o termo (6s + 42) é o numerador

Como já fizemos antes, iremos expressar em termos de frações parciais

F s = 5 s - 15 + K 1 s + 2 + K 2 s + 5       ( 6 )  

Para obtermos K 1 , iremos analisar para s = -2

K 1 = 6 s + 42 s + 5

= 10

Para obter K 2 iremos analisar s   =   - 5

K 2 = 6 s + 42 s + 2

= -   4

Substituindo em (6)

F s = 5 s - 15 + 10 s + 2 - 4 s + 5

Da tabela 12.1

f t = 5 δ ' t - 15 δ t + 10 e - 2 t - 4 e - 5 t u t

Resposta

Ver o desenvolvimento.

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