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Enunciado

Elétrica - Johnson, D. E., Hilburn, J. L., Johnson, J. R. - Fundamentos de Análise de Circuitos Elétricos, PHB- Ed: 4º - Capítulo 15.Problemas - Ex. 23

Mostre, calculando a função de transferência V 2 ( s ) / V 1 ( s ) , a resposta em amplitude, o ganho e   ω c , que o circuito é um filtro passa-altas de terceira ordem.

Passo 1

O enunciado pede que a gente mostre, calculando a função de transferência V 2 ( s ) / V 1 ( s ) , a resposta em amplitude, o ganho e   ω c , que o circuito é um filtro passa-altas de terceira ordem. Começando a esboçar o circuito para podermos determinar 😊

V 2 = V ⋅ 1 1 + 1 / s ⇒ V 2 = V s s + 1 ⇒ V = V 2 ( s + 1 / s )

V 1 - V 1 + 1 / s = V s / 2 + V 1 + 1 / s ⇒ V 1 1 + 1 / s = V 1 1 + 1 / s + 2 s + 1 1 + 1 / s

⇒ V 1 = V ( 1 + 1 / s ) 2 1 + 1 / s + 2 s ⇒ V 1 = V 2 s + 1 s 2 + 2 ( s + 1 ) s 2 ⇒

⇒ V 1 V 2 = 2 s + 2 s + 2 ( s + 1 ) 2 s 3 ⇒ V 1 V 2 = 2 s 2 + 2 s 2 + 2 s 2 + 4 s + 2 s 3 ⇒

⇒ V 2 V 1 = H ( s ) = s 3 2 s 3 + 4 s 2 + 4 s + 2

Passo 2

s → ∞

l i m s → ∞   1 2 + 4 / s + 4 / s 2 + 2 / s 3 = 1 / 2

G = 1 / 2

H ω j = 1 2 - 4 j ω - 4 ω 2 + 2 j ω 3

| H ( ω j ) | = 1 2 - 4 ω 2 2 + 2 ω 3 - 4 ω 2

⇒ | H ( ω j ) | = 1 4 ω 4 - 16 ω 2 + 16 / ω 4 + 16 ω 4 - 16 ω 2 + 4 / ω 6 1 / 2

⇒ H ω j ' = 1 4 ω 6 - 16 ω 4 + 16 ω 2 ω 6 + 16 ω 4 - 16 ω 2 + 4 1 / 2 ⇒ 1 4 ω 6 + 4 w 6

Passo 3

| H ( ω j ) | = ω 3 2 ω 6 + 1

H ω j ' = 1 / 2 H m a x

ω c 3 2 ω c 6 + 1 = 1 / 2 2

2 2 ω c 3 = 2 / ω 0 6 + 1

2 ω c 6 = 4 ω 0 6 + 1

2 w c 6 = w c 6 + 1

w c 6 = 1

ω c = 1 r a d / s

Resposta

ω c = 1 r a d / s

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