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Enunciado

Elétrica - Sadiku - Fundamentos de Circuitos Elétricos- Ed: 5º - Capítulo 16.Problemas - Ex. 7

A resposta ao degrau de um circuito R L C é dada por

d 2 i d t ² + 2 d i d t + 5 i = 10

Sabendo que i 0 = 6 e d i 0 d t = 12 , calcule i ( t ) .

Passo 1

Primeiro vamos calcular a transformada de Laplace de cada termo da equação beleza?

Lembrando quais são as transformadas de Laplace de derivadas:

L f n t = s n L f t - s n - 1 f 0 - s n - 2 f 0 - … - f n - 1 ( 0 )

Então, a transformada de Laplace da nossa equação é:

s 2 I s - s i 0 - i ' 0 + 2 s I s - i 0 + 5 I s = 10 s

Passo 2

Agora vamos substituir i ( 0 ) e i ' ( 0 ) pelos valores dados no enunciado:

s 2 I s - 6 s - 12 + 2 s I s - 6 + 5 I s = 10 s

s 2 I s - 6 s - 12 + 2 s I s - 12 + 5 I s = 10 s

Passando 6 s + 24 pro outro lado e colocando I ( s ) em evidência:

I s . s 2 + 2 s + 5 = 10 s + 6 s + 24

I s . s 2 + 2 s + 5 = 10 s + 6 s ² + 24 s s

I s . s 2 + 2 s + 5 = 6 s 2 + 24 s + 10 s

Nosso próximo passo é isolar I ( s ) , pois assim teremos a expressão de I ( s ) e encontrando a sua transformada inversa, encontraremos i t , solução da equação diferencial :)

I s = 6 s 2 + 24 s + 10 s s 2 + 2 s + 5

Passo 3

Opa, agora para encontrarmos a transformada inversa, vamos começar fazendo frações parciais:

6 s 2 + 24 s + 10 s s 2 + 2 s + 5 = A s + B s + C s 2 + 2 s + 5

6 s 2 + 24 s + 10 = A s 2 + 2 s + 5 + B s + C . s

6 s 2 + 24 s + 10 = A s 2 + 2 A s + 5 A + B s 2 + C s

6 s 2 + 24 s + 10 = s 2 A + B + s 2 A + C + 5 A

Igualando os termos de cada lado, temos o sistema:

A + B = 6 2 A + C = 24 5 A = 10

Resolvendo o sisteminha:

A = 2

B = 4

C = 20

Então:

6 s 2 + 24 s + 10 s s 2 + 2 s + 5 = 2 s + 4 s + 20 s 2 + 2 s + 5

Passo 4

Vamos remanejar a segunda fração para encontrarmos um modelo de transformada que conhecemos a inversa beleza?

6 s 2 + 24 s + 10 s s 2 + 2 s + 5 = 2 s + 4 s + 4 + 16 s 2 + 2 s + 1 + 4

6 s 2 + 24 s + 10 s s 2 + 2 s + 5 = 2 s + 4 ( s + 1 ) + 16 ( s + 1 ) ² + 4

6 s 2 + 24 s + 10 s s 2 + 2 s + 5 = 2 s + 4 ( s + 1 ) ( s + 1 ) ² + 2 ² + 8 2 ( s + 1 ) ² + 2 ²

Passo 5

Agora é só encontrarmos a transformada inversa de cada termo com base nos modelos que já temos, assim:

i t = 2 + 4 e - t c o s ⁡ ( 2 t ) + 8 e - 5 t s e n ( 2 t ) u t   A

Resposta

i t = 2 + 4 e - t c o s ⁡ ( 2 t ) + 8 e - 5 t s e n ( 2 t ) u t   A

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