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Enunciado

Elétrica - James W. Nilsson, Circuitos Elétricos- Ed: 10º - Capítulo 13.Problemas - Ex. 21

Não há nenhuma energia armazenada no circuito da Figura P13.21, no instante em que as fontes são conectadas.

a) Determine I 1 s   e   I 2 ( s ) .

b) Use os teoremas do valor inicial e final para verificar os valores inicial e final de i 1 t   e   i 2 ( t ) .

c) Determine i 1 t   e   i 2 ( t ) para t ≥ 0 .

Passo 1

Falaaa, pessoal! Como vocês estão?

Bora pra mais uma questãozinha pra exercitar o que a gente sabe sobre transformada de Laplace na análise de circuitos!

  1. Podemos demonstrar o circuito de acordo com a seguinte ilustração:

    2. Com isso, temos:

    0 = 0,5 s I 1 - 30 s + 2500 s I 1 - I 2 + 100 I 1

    Desenvolvendo essa equação, chegamos em:

    - 50 I 1 + s + 50 I 2 = 22,5

    Precisamos agora achar os valores das componentes N1, N2 e ∆ :

    ∆ = s 2 + 200 s + 500         - 5000 - 50                                                               ( s + 50 ) = s ( s + 100 ) ( s + 150 )

    N 1 = 30 s         - 5000 22,5       ( s + 50 ) = 30 ( s 2 + 50 s + 37 50 )

    N 2 = s 2 + 200 s + 500         30 s - 50                                                               22,5 = 22,5 s 2 + 600 0 s + 112500 )

    De posse disso, podemos encontrar I 1 e I 2 :

    I 1 = N 1 ∆ = 30 ( s 2 + 50 s + 3750 ) s ( s + 100 ) ( s + 150 )  

    I 2 = N 2 ∆ = 22,5 s 2 + 600 0 s + 11250 0 ) s ( s + 100 ) ( s + 150 )  

    Passo 2

  2. Para I1, do item anterior, temos que:

    3. S I 1 = 30 ( s 2 + 50 s + 3750 ) s ( s + 100 ) ( s + 150 )  

    Logo:

    lim ⁡ s I 1 = i 1 0 + = 30 A

    lim ⁡ s I 1 = i 1 ∞ = 7,5 A

    Da mesma forma:

    s I 2 = 22,5 s 2 + 6000 s + 112500 ) s ( s + 100 ) ( s + 150 )

    Logo:

    lim ⁡ s I 2 = i 2 0 + = 22,5 A

    lim ⁡ s I 2 = i 2 ∞ = 7,5 A

  3. Podemos decompor I1 como:

I 1 = K 1 s + K 2 s + 100 + K 3 s + 150

Logo: K 1 = 7,5 ; K 2 = - 52,5 ; K 3 = 75

Então:

i 1 t = 7,5 - 52,5 e - 100 t + 75 e - 150 t u t A

Podemos decompor I2 como:

I 2 = K 1 s + K 2 s + 100 + K 3 s + 150

Logo: K 1 = 7,5 ; K 2 = 52,5 ; K 3 = - 37,5

Então:

i 2 t = 7,5 + 52,5 e - 100 t - 37,5 e - 2 50 t u t A

Resposta

  1. Item a:

    2. I 1 = 30 ( s 2 + 50 s + 3750 ) s ( s + 100 ) ( s + 150 )  

    I 2 = 22,5 s 2 + 6000 s + 112500 ) s ( s + 100 ) ( s + 150 )  

  2. Item b:

    3. lim ⁡ s I 1 = i 1 0 + = 30 A

    lim ⁡ s I 1 = i 1 ∞ = 7,5 A

    lim ⁡ s I 2 = i 2 0 + = 22,5 A

    lim ⁡ s I 2 = i 2 ∞ = 7,5 A

  3. Item c:

i 1 t = 7,5 - 52,5 e - 100 t + 75 e - 150 t u t A

i 2 t = 7,5 + 52,5 e - 100 t - 37,5 e - 250 t u t A

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