Enunciado

Supondo que a chave na figura 7.87 se encontra na posição A há um longo período e seja mudada para a posição B em t = 0 . Em seguida, tem t = 1   s , a chave se move de B para C . Determine v c t para t ≥ 0 .

Passo 1

Avaliando primeiramente quando a chave está na posição A . Como o circuito se encontra dessa forma há muito tempo, o capacitor vai funcionar como um circuito aberto:

Como é um circuito aberto, não teremos corrente passando nele e, com isso, podemos dizer que a tensão em cima do capacitor será a mesma da fonte. Beleza? Guarda essa informação!

Passo 2

Em t = 0 , a chave muda de A para B . E o nosso circuito passa a ser:

Então, já analisando nosso único nó desenhado ali, temos duas correntes saindo dele e indo para o terra, nosso nó de referência. Dessa forma:

i c + i r = 0

Só que sabemos que a corrente no capacitor é i c = C d V d t = 2 ∙ 10 - 3 ∙ V ' e a corrente no resistor será i r = V 500 ∙ 10 3 . Logo:

2 ∙ 10 - 3 ∙ V ' + V 500 ∙ 10 3 = 0

Dividindo tudo por 2 ∙ 10 - 3 :

V ' + V 10 00 = 0

Agora, vamos resolver essa EDO para achar a tensão no capacitor para 0 ≤ t < 1 . Resolvendo essa EDO, temos a equação característica:

r + 1 1000 = 0

r = - 1 1000 = - 10 - 3

E nossa solução é:

V 0 ≤ t < 1 = c 1 e - 10 - 3 t   V

Onde podemos achar o valor da constante c 1 usando a informação de que V 0 - = 12 V e sabendo que a tensão no capacitor não pode variar instantaneamente. Assim:

V 0 - = V 0 + = 12 V

E:

c 1 e 0 1000 = 12

c 1 = 12

Nossa solução, então, fica:

V 0 ≤ t < 1 = 12 e - 10 - 3 t   V

Passo 3

Agora, só falta analisar o circuito para t ≥ 1 . Nesse instante, a chave vai para C e o nosso circuito fica assim:

É bem parecido com o anterior mesmo! E vamos resolver da mesma forma, também. Então, já podemos montar nossa EDO pela análise nodal:

i c + i r = 0

Só que sabemos que a corrente no capacitor é i c = C d V d t = 2 ∙ 10 - 3 ∙ V ' e a corrente no resistor será i r = V 10 3 . Logo:

2 ∙ 10 - 3 ∙ V ' + V 10 3 = 0

Dividindo tudo por 2 ∙ 10 - 3 :

V ' + V 2 = 0

Agora, vamos resolver essa EDO para achar a tensão no capacitor para t ≥ 1 . Resolvendo essa EDO, temos a equação característica:

r + 1 2 = 0

r = - 1 2 = - 0,5

E nossa solução é:

V t ≥ 1 = c 1 e - 0,5 ( t - 1 )   V

Por que t - 1 e não t ? Porque já se passou 1 segundo, então o instante inicial desse circuito é deslocado em 1s. Beleza?

E podemos achar o valor da constante c 1 usando a informação do passo anterior de que V 1 - = 12 e - 10 - 3   V e sabendo que a tensão no capacitor não pode variar instantaneamente. Assim:

V 1 - = V 1 + = 12 e - 10 - 3   V = 11,99 V

E:

c 1 e - 0,5 ( 1 - 1 ) = 1 1,99

c 1 = 1 1,99

Nossa solução, então, fica:

V   t ≥ 1 = 11,99 e - 0,5 ( t - 1 )   V

Passo 4

Para finalizar, precisamos só juntar todas as informações dos dois passos anteriores e chegar na resposta final:

v c t = 12 e - 10 - 3 t ,   0 ≤ t < 1 11,99 e - 0,5 ( t - 1 ) ,   t ≥ 1

Beleza?? Acabamos por aqui! 😊

Resposta

v c t = 12 e - 10 - 3 t ,   0 ≤ t < 1 11,99 e - 0,5 ( t - 1 ) ,   t ≥ 1

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