Enunciado
Elétrica - Johnson, D. E., Hilburn, J. L., Johnson, J. R. - Fundamentos de Análise de Circuitos Elétricos, PHB- Ed: 4º - Capítulo 9.3 - Ex. 1
Dada a equação diferencial linear
Mostre que , e são soluções.
Passo 1
Galeres, o que vamos fazer aqui nessa questão é o que fizemos em várias outras nesse capítulo. Para provar que essas funções são respostas para a equação diferencial, vamos substituir as funções e as suas derivadas e ver se a igualdade da equação diferencial será mantida.
Bora lá?
Passo 2
Começando por , vamos calcular sua primeira e segunda derivada.
Se liga, que vamos ter uma regra do produto entre as funções e
E para a segunda derivada, também vamos ter uma regra do produto, só que agora entre as funções e :
E agora, é só substituir na equação diferencial homogênea dada:
Aplicando a distributiva:
Opa, conseguimos, mantemos nossa igualdade!!
Passo 3
Agora, vamos repetir o processo para , no entanto, esse caso é mais fácil, pois é uma constante e suas derivadas são zero:
Substituindo na equação diferencial, teremos:
Opa, mantivemos a igualdade novamente!
Pra finalizar o exercício, no último passo, vamos verificar se também soluciona a equação diferencial.
Passo 4
Vamos começar calculando as derivadas de
Essa é a mesma primeira derivada que encontramos para o , por isso não precisamos nem calcular a segunda derivada, já sabemos que ela vai ser igual a segunda derivada do que já foi calculada.
Como a equação diferencial dada depende apenas das derivadas e as derivadas são idênticas as derivadas do que já provamos ser uma resposta da equação diferencial, podemos dizer que analogamente também é uma resposta, pois o procedimento é o mesmo, só vou repeti-lo aqui embaixo:
Substituindo as derivadas na equação diferencial:
Aplicando a distributiva:
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)