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Enunciado

Elétrica - Johnson, D. E., Hilburn, J. L., Johnson, J. R. - Fundamentos de Análise de Circuitos Elétricos, PHB- Ed: 4º - Capítulo 9.4 - Ex. 1

Calcule as frequências naturais de um circuito caracterizado por

d 2 x d t 2 + a 1 d x d t + a 0 x = 0

Se (a) a 1 = 5 , a 0 = 4 ; (b)   a 1 = 4 , a 0 = 13 ; (c) a 1 = 8 , a 0 = 16 .

Passo 1

Fala galera, nesse exemplo vamos resolver a equação característica e dependendo do valor do Δ , teremos um dos 3 casos possíveis (Super amortecido, amortecimento crítico e subamortecido).

Para cada um dos três casos, iremos encontrar a sua frequência natural a partir do valor da raíz da equação característica.

Passo 2

Para a letra (a), teremos a seguinte equação característica:

s 2 + 5 s + 4 = 0

Calculando o Δ , teremos:

Δ = 25 - 4 × 1 × 4

Δ = 25 - 16 = 9

Como temos o Δ > 0 , teremos duas raízes reais distintas e estamos no caso super amortecido.

Encontrando as raízes:

s = - 5 ± 9 2 × 1

s ' = - 1

s ' ' = - 4

Passo 3

Para a letra (b), teremos a seguinte equação característica:

s 2 + 4 s + 13 = 0

Calculando o Δ , teremos:

Δ = 16 - 4 × 1 × 13

Δ = 16 - 52 = - 36

Como temos o Δ < 0 , teremos duas raízes imaginárias distintas e estamos no caso sub amortecido.

Encontrando as raízes:

s = - 4 ± - 36 2 × 1

s = - 2 ± 3 j

Passo 4

Para a letra ©, teremos a seguinte equação característica:

s 2 + 8 s + 16 = 0

Calculando o Δ , teremos:

Δ = 64 - 4 × 1 × 16

Δ = 64 - 64 = 0

Como temos o Δ = 0 , teremos duas raízes reais iguais e estamos no caso criticamente amortecido.

Encontrando as raízes:

s = - 8 2 × 1

s ' = - 4

s ' ' = - 4

s ' = - 1

s ' ' = - 4

Vamos encontrar essas raízes pela fórmula de Bhaskara:

Δ = 4 2 - 4 × 1 × 4

Δ = 16 - 16

Δ = 0

Resposta

a)

s ' = - 1 ; s ' ' = - 4

b)

s ' = - 2 + j 3 ; s ' ' = - 2 - j 3

c)

s ' = - 4 ; s ' ' = - 4

Exercícios de Livros Relacionados

A chave do circuito mostrado na Figura P7.22 esteve aberta por um longo tempo antes de seu fechamento em t = 0. Escreva a expressão para a tensão do capacitor, v(t), para t $ 0.
Depois de o circuito da Figura P7.33 estar em funcionamento por um longo tempo, uma chave de fenda é inadvertidamente colocada entre os terminais a, b. Suponha que a resistência da chave de fenda seja
[a] - No Problema 7.31, quantos microjoules de energia são gerados pela fonte de corrente dependente durante o tempo em que o capacitor se descarrega a 0 V?[b] - b) Mostre que, para t ≥ 0 , a energia
Determine i_0 ( t ) para t = 0 .
No momento em que a chave no circuito da Figura P7.34 é fechada, a tensão nos capacitores em paralelo é 50 V e a tensão no capacitor de 250 nF é 40 V.a) Qual percentagem da energia inicial armazenada