Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Elétrica - Sadiku - Fundamentos de Circuitos Elétricos- Ed: 5º - Capítulo 16.Problemas - Ex. 8

A tensão em um ramo de um circuito R L C é descrita por

d 2 v d t ² + 4 d v d t + 8 v = 48

Se as condições iniciais forem v 0 = 0 = d v 0 d t . Determine v ( t ) .

Passo 1

Primeiro vamos calcular a transformada de Laplace de cada termo da equação beleza?

Lembrando quais são as transformadas de Laplace de derivadas:

L f n t = s n L f t - s n - 1 f 0 - s n - 2 f 0 - … - f n - 1 ( 0 )

Então, a transformada de Laplace da nossa equação é:

s 2 V s - s v 0 - v ' 0 + 4 s V s - v 0 + 8 V s = 48 s

Passo 2

Agora vamos substituir v ( 0 ) e v ' ( 0 ) pelos valores dados no enunciado:

s 2 V s - 0 - 0 + 4 s V s - 0 + 8 V s = 48 s

s 2 V s + 4 s V s + 8 V s = 48 s

Colocando V ( s ) em evidência:

V s . s 2 + 4 s + 8 = 48 s

Nosso próximo passo é isolar V ( s ) , pois assim teremos a expressão de V ( s ) e encontrando a sua transformada inversa, encontraremos v t , solução da equação diferencial :)

V s = 48 s s 2 + 4 s + 8

Passo 3

Opa, agora para encontrarmos a transformada inversa, vamos começar fazendo frações parciais:

48 s s 2 + 4 s + 8 = A s + B s + C s 2 + 4 s + 8

48 = A s 2 + 4 s + 8 + B s + C s

48 = A + B s 2 + 4 A + C s + 8 A

Igualando os termos de cada lado, temos o sistema:

A + B = 0 4 A + C = 0 8 A = 48

Resolvendo o sisteminha:

A = 6

B = - 6

C = - 24

Aí vai ficar assim:

48 s s 2 + 4 s + 8 = 6 s - 6 s + 24 s 2 + 4 s + 8

Passo 4

Vamos remanejar a segunda fração para encontrarmos um modelo que conhecemos a inversa beleza?

48 s s 2 + 4 s + 8 = 6 s - 6 s + 12 + 12 s 2 + 4 s + 4 + 4

48 s s 2 + 4 s + 8 = 6 s - 6 ( s + 2 ) + 12 ( s + 2 ) ² + 4

48 s s 2 + 4 s + 8 = 6 s - 6 s + 2 s + 2 2 + 2 ² - 12 ( s + 2 ) ² + 2 ²

48 s s 2 + 4 s + 8 = 6 s - 6 s + 2 s + 2 2 + 2 ² - 6 2 ( s + 2 ) ² + 2 ²

Passo 5

Agora é só encontrarmos a transformada inversa de cada termo com base nos modelos que já temos, assim:

v t = 6 - 6 e - 2 t cos ⁡ 2 t - 6 e - 2 t s e n ⁡ ( 2 t ) u t   V

Resposta

v t = 6 - 6 e - 2 t cos ⁡ 2 t - 6 e - 2 t s e n ⁡ ( 2 t ) u t   V

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Aplique os teoremas do valor inicial e do valor final a cada par de transformadas do Problema 12.41.