Se os zeros de H(s) são s = - 1 , - 1 ± j 1 , os pólos são s = - 2 , - 1 ± j 2 e H 0 = 4 , calcule (s).

Passo 1

Falaaaa, galerinha. Tudo certinho com vocês?

Vocês estão mandando muitooo bem nas questões. Mas, vamos continuar praticando! Essa questão nos pede a função H(s) com os já dados zeros e os polos.

Passo 2

Vamos primeiro achar os zeros...

O enunciado diz que um dos zeros é igual a -1. Assim fica não, é?? Se vai zerar com -1 então o valor precisa ser +1.

Assim ficamos com: ( s + 1 )

Ixiii... o outro zero é um número complexo e se prestarmos atenção, é proveniente de uma função quadrática. É, pessoal, temos muito o que fazer além de estipular valores de funções de 2º grau, a fim de, chegarmos no resultado que nos foi dado.

Não se preocupe! Vamos tentar com essa equação aqui...

s 2 + 2 s + 2 = 0

Substituindo na fórmula de Bhaskara:

s = - b ± b 2 - 4 ⋅ a ⋅ c 2 ⋅ a

s = - 2 ± 2 2 - 4 ⋅ 1 ⋅ 2 2 ⋅ 1

s = - 2 ± 4 - 8 2

s = - 2 ± j 4 2

s = - 2 ± 2 j 2

s = - 1 ± j

Então ficamos com: ( s 2 + 2 s + 2 )

Muito bem, galerinha!!!! Tá tirando ondaaaa 🌊

Passo 3

Beleza, pessoal. Agora, vamos achar os polos do nosso H(s). Bora lá!!

O enunciado diz que um dos zeros é igual a -2. Assim fica não, é?? Se vai zerar com -2 então o valor precisa ser +2.

Assim ficamos com: ( s + 2 )

Ixiii... o outro polo é um número complexo e se prestarmos atenção, é proveniente de uma função quadrática. É, pessoal, temos muito o que fazer além de estipular valores de funções de 2º grau, a fim de, chegarmos no resultado que nos foi dado.

Não se preocupe! Vamos tentar com essa equação aqui...

s 2 + 2 s + 5 = 0

Substituindo na fórmula de Bhaskara:

s = - b ± b 2 - 4 ⋅ a ⋅ c 2 ⋅ a

s = - 2 ± 2 2 - 4 ⋅ 1 ⋅ 5 2 ⋅ 1

s = - 2 ± 4 - 20 2

s = - 2 ± j 16 2

s = - 2 ± 4 j 2

s = - 1 ± j 2

Então ficamos com: ( s 2 + 2 s + 5 )

Passo 4

Estamos quase terminando! Agora, só precisamos achar um valor que quando s = 0 , o H s = 4 . Vamos Lá!

4 = x ⋅ s + 1 ⋅ ( s 2 + 2 s + 2 ) s + 2 ⋅ ( s 2 + 2 s + 5 )

4 = x ⋅ 0 + 1 ⋅ ( 0 2 + 2 ⋅ 0 + 2 ) 0 + 2 ⋅ ( 0 2 + 2   ⋅ 0 + 5 )

4 = x ⋅ 1 ⋅ 2 2 ⋅ 5

2 x = 40

x = 20

Perfeito!! 🤩 Assim ficamos com:

H ( s ) = 20 ⋅ s + 1 ⋅ ( s 2 + 2 s + 2 ) s + 2 ⋅ ( s 2 + 2 s + 5 )

Resposta

H ( s ) = 20 ⋅ s + 1 ⋅ ( s 2 + 2 s + 2 ) s + 2 ⋅ ( s 2 + 2 s + 5 )

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