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Exercícios Resolvidos de Equação logarítmica

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Exercício 4123

Enunciado

Resolva:

log 4 ⁡ 2 x 2 + 1 2 log 2 ⁡ 2 x = 1

Dica: log a ⁡ a = 1 e   log a ⁡ a 2 = 2

Passo 1

Usando a regra do peteleco, temos:

log 4 ⁡ 2 x 2 = x 2 log 4 ⁡ 2

Qual número que elevado a 4 dá 2 ? A raiz, ou seja, ½ . Portanto:

log 4 ⁡ 2 = 1 2

Ficando:

log 4 ⁡ 2 x 2 = 1 2 x 2

Usando a regra do peteleco novamente:

1 2 log 2 ⁡ 2 x = x 2 log 2 ⁡ 2 = x 2

Ou seja, podemos reescrever a equação do problema na forma: log 4 ⁡ 2 x 2 + 1 2 log 2 ⁡ 2 x = 1 ⟹ 1 2 x 2 + x = 1 ⟹ x 2 + x - 2 = 0  

Passo 2

Conseguimos reduzir o problema a uma equação de segundo grau que se resolve por Bhaskara:

x 1,2 = - b ± b 2 - 4 a c 2 a = - 1 ± 1 - 4 ⋅ 1 ⋅ - 2 2 ⋅ 1 = - 1 ± 3 2

Logo, as raízes serão: x 1 = - 2 x 2 = 1

Como inicialmente o x está sempre no expoente e a exponencial é sempre positiva, não haverá violação das condições de existência.

Resposta

x 1 = - 2 x 2 = 1