[0,75] Admitindo que a fábrica trabalha ininterruptamente, com diferentes turnos, assuma que:
p = m . g . h O número de trabalhadores em atividade ao longo do dia é descrito pela função
x(t) = { 50, 0 <= t <= 8; N, 8 < t <= 18; 60, 18 <= t <= 24 }
p = m . g . h a temperatura ao longo do dia possa ser modelada por uma função quadrática que passa pelos pontos (0,10),(12,30) e 24,10
Escreva a função que descreve a quantidade da poluição gerada ao longo do dia.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma fábrica que funciona o dia todo, dividida em diferentes turnos com um número variável de trabalhadores. Além disso, a temperatura ao longo do dia varia de acordo com uma função quadrática que passa por três pontos específicos. Nosso objetivo é criar uma função que descreva a quantidade de poluição gerada durante o dia.
Para resolver isso, vamos precisar entender:
  • Funções definidas por partes: para o número de trabalhadores.
  • Funções quadráticas: para a temperatura.
  • Como combinar essas funções para obter a poluição total.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a função que descreve a temperatura ao longo do dia. Sabemos que essa função é quadrática e passa pelos pontos (0,10), (12,30) e (24,10). Vamos chamar essa função de , onde é o tempo em horas.
Uma função quadrática geral tem a forma:
Precisamos encontrar os valores de , e que fazem a função passar pelos três pontos dados.
Vamos substituir cada ponto na equação:
  1. Para , :
  1. Para , :
  1. Para , :
Agora, temos um sistema de equações com duas incógnitas:
Vamos resolver esse sistema. Podemos simplificar a segunda equação dividindo tudo por 24:
Substituímos na primeira equação:
Agora, encontramos :
Então, a função da temperatura é:

Passo 3

Agora, vamos considerar o número de trabalhadores ao longo do dia. A função está definida por partes:
Aqui, representa um número de trabalhadores durante o período das 8h às 18h.

Passo 4

A quantidade de poluição gerada pode ser modelada como sendo proporcional ao número de trabalhadores e à temperatura, ou seja:
Vamos substituir e na equação:
Para :
Para :
Para :

Passo 5

Finalmente, juntando tudo, a função que descreve a quantidade de poluição gerada ao longo do dia é:

Resposta

A função que descreve a quantidade de poluição gerada ao longo do dia é:

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