Esboce o gráfico de , com . Além disso, determine os extremos globais desta função.
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para esboçar o gráfico da função no intervalo de e também encontrar os extremos globais dessa função. Para isso, vamos precisar entender alguns conceitos de funções polinomiais, derivadas para encontrar extremos e analisar o comportamento da função nesse intervalo.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os pontos críticos da função, que são os pontos onde a derivada da função é zero ou não existe. Esses pontos são importantes porque podem ser máximos ou mínimos locais, que nos ajudarão a encontrar os extremos globais.
Passo 3
Vamos calcular a derivada de . A derivada de é e a derivada de é . Então,
Passo 4
Agora, vamos encontrar os pontos críticos resolvendo :
Então, temos dois pontos críticos: e .
Passo 5
Para determinar se esses pontos críticos são máximos ou mínimos, podemos usar o teste da segunda derivada ou analisar o comportamento da função. Vamos calcular a segunda derivada:
Em :
Em :
Passo 6
Agora, vamos calcular os valores de nesses pontos críticos:
Em :
Em :
Passo 7
Além dos pontos críticos, precisamos verificar os valores da função nas extremidades do intervalo, ou seja, em e :
Em :
Em :
Passo 8
Com esses valores, podemos identificar os extremos globais no intervalo :
Valor máximo: 16, ocorrendo em e
Valor mínimo: -16, ocorrendo em e
Resposta
Os extremos globais da função no intervalo são:
Máximo global: e
Mínimo global: e
O gráfico dessa função apresenta um máximo de 16 nos pontos e , e um mínimo de -16 nos pontos e .