1. Uma partícula move-se conforme a figura ilustrada a seguir.
    A posição da partícula no eixo x é descrita pela equação:
x=4-27 t+t^3
De acordo com essas informações, responda:
(a) Quais as funções para a velocidade e para a aceleração em função do tempo para o movimento dessa partícula?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma partícula que se move no eixo x = 4 - 27t + t^3 e a posição dela em função do tempo é dada por:
Nosso objetivo aqui é encontrar duas coisas importantes sobre o movimento dessa partícula: velocidade e aceleração em função do tempo. Para isso, vamos usar um pouco de cálculo, especificamente as derivadas, que nos ajudam a entender como a posição muda com o tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a velocidade da partícula. A velocidade é basicamente a taxa de variação da posição em relação ao tempo. Matemáticamente, isso significa que a velocidade x(t) = 4 - 27t + t^3 é a primeira derivada da posição v(t) = dxdt = ddt(4) - ddt(27t) + ddt(t^3) em relação ao tempo ddt(4) = 0 (pois é uma constante) .
Então, vamos derivar a equação da posição:
ddt(27t) = 27
Derivando termo a termo:
ddt(t^3) = 3t^2
Sabemos que:
v(t) = 0 - 27 + 3t^2 = 3t^2 - 27 é
Então, juntando tudo:

Passo 3

Agora, vamos encontrar a aceleração da partícula. A aceleração é a taxa de variação da velocidade em relação ao tempo, ou seja, é a segunda derivada da posição v(t) = 3t^2 - 27 . Também podemos pensar na aceleração como a primeira derivada da velocidade a(t) = dvdt = ddt(3t^2) - ddt(27) .
Já temos a expressão para a velocidade:
ddt(3t^2) = 6t
Vamos derivar essa expressão para encontrar a aceleração ddt(27) = 0 :
a(t) = 6t - 0 = 6t
Sabemos que:
Então, a aceleração fica:

Resposta

A velocidade e a aceleração da partícula em função do tempo são, respectivamente:
v(t) = 3t^2 - 27
a(t) = 6t

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