) Um objeto de massa m está ligado a uma mola de constante elástica k e comprimento não distendida
. O conjunto está sobre uma superficie horizontal sem atrito e a massa gira com uma frequência de v rotações por unidade de tempo. Mostre que a tração na mola é
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre um objeto com massa
ligado a uma mola com constante elástica
e comprimento natural
. Esse conjunto está em uma superfície horizontal sem atrito, e a massa está girando com uma frequência de
rotações por unidade de tempo. Nosso objetivo é encontrar a tração na mola usando esses dados. Para resolver isso, vamos precisar dos conceitos de força centrípeta e a Lei de Hooke, que relaciona a força na mola com sua deformação.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a força centrípeta, que é a força responsável por manter a massa em movimento circular. A fórmula para a força centrípeta
é:
Onde
é a aceleração centrípeta. Sabemos que para movimento circular,
pode ser expressa como:
Mas como estamos trabalhando com frequência
(rotações por unidade de tempo), podemos relacionar a aceleração centrípeta diretamente com
usando a fórmula:
Aqui,
é o comprimento da mola quando estendida.
Passo 3
Agora, vamos considerar a Lei de Hooke, que nos diz que a força exercida pela mola
é proporcional à sua deformação. A fórmula é:
Onde
é a variação no comprimento da mola em relação ao seu comprimento natural
. Nesse caso, a tração na mola precisa fornecer a força centrípeta para manter a massa em movimento circular. Então, temos:
Substituindo as fórmulas, fica:
Passo 4
Vamos resolver essa equação para
. Primeiro, distribuímos o
:
Agora, vamos reunir os termos com
de um lado:
Fatorando
:
Finalmente, isolamos
:
Passo 5
Agora que temos
, podemos substituir de volta na expressão da força centrípeta para encontrar a tração
:
Substituindo
:
Simplificando, temos:
Resposta
A tração na mola é dada por: