) Um objeto de massa m está ligado a uma mola de constante elástica k e comprimento não distendida . O conjunto está sobre uma superficie horizontal sem atrito e a massa gira com uma frequência de v rotações por unidade de tempo. Mostre que a tração na mola é

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre um objeto com massa ligado a uma mola com constante elástica e comprimento natural . Esse conjunto está em uma superfície horizontal sem atrito, e a massa está girando com uma frequência de rotações por unidade de tempo. Nosso objetivo é encontrar a tração na mola usando esses dados. Para resolver isso, vamos precisar dos conceitos de força centrípeta e a Lei de Hooke, que relaciona a força na mola com sua deformação.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a força centrípeta, que é a força responsável por manter a massa em movimento circular. A fórmula para a força centrípeta é:
Onde é a aceleração centrípeta. Sabemos que para movimento circular, pode ser expressa como:
Mas como estamos trabalhando com frequência (rotações por unidade de tempo), podemos relacionar a aceleração centrípeta diretamente com usando a fórmula:
Aqui, é o comprimento da mola quando estendida.

Passo 3

Agora, vamos considerar a Lei de Hooke, que nos diz que a força exercida pela mola é proporcional à sua deformação. A fórmula é:
Onde é a variação no comprimento da mola em relação ao seu comprimento natural . Nesse caso, a tração na mola precisa fornecer a força centrípeta para manter a massa em movimento circular. Então, temos:
Substituindo as fórmulas, fica:

Passo 4

Vamos resolver essa equação para . Primeiro, distribuímos o :
Agora, vamos reunir os termos com de um lado:
Fatorando :
Finalmente, isolamos :

Passo 5

Agora que temos , podemos substituir de volta na expressão da força centrípeta para encontrar a tração :
Substituindo :
Simplificando, temos:

Resposta

A tração na mola é dada por:

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  1. Uma partícula move-se conforme a figura ilustrada a seguir.
    A posição da partícula no eixo é descrita pela equação:
De acordo com essas informações, responda:
(a) Quais as funções para a velocidade e para a aceleração em função do tempo para o movimento dessa partícula?
) Uma massa puntiforme parte do repouso a partir do topo de uma esfera de raio r e desliza sem atrito. Medindo-se os ângulos a partir da vertical mostre que a massa abandona a superfície da esfera no ângulo .
) Uma haste rígida de massa desprezível e comprimento tem um objeto de massa m ligada à uma de suas extremidade formando um pêndulo simples. Ela é invertida verticalmente e em seguida largada. Mostre que a tensão na haste quando a massa atingir o ponto mais baixo de sua trajetória será 5 mg .
A Fig. mostra três blocos sendo empurrados em um piso sem atrito por uma força horizontal . Que massa total é acelerada para a direita (a) pela força, (b) pela força exercida pelo bloco 1 sobre o bloco 2 e © pela força exercida pelo bloco 2 sobre o bloco 3? (d) Ordene os blocos de acordo com o módulo da aceleração, começando pelo maior. (e) Ordene as forças e de acordo com o módulo, começando pelo maior.