3^circ ) Um objeto de massa m está ligado a uma mola de constante elástica k e comprimento não distendida l0. O conjunto está sobre uma superficie horizontal sem atrito e a massa gira com uma frequência de v rotações por unidade de tempo. Mostre que a tração na mola é 4 pi^2 mk l0 v^2 /(k-4 pi^2 mv^2)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre um objeto com massa ligado a uma mola com constante elástica e comprimento natural . Esse conjunto está em uma superfície horizontal sem atrito, e a massa está girando com uma frequência de rotações por unidade de tempo. Nosso objetivo é encontrar a tração na mola usando esses dados. Para resolver isso, vamos precisar dos conceitos de força centrípeta e a Lei de Hooke, que relaciona a força na mola com sua deformação.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a força centrípeta, que é a força responsável por manter a massa em movimento circular. A fórmula para a força centrípeta Fc = m cdot ac é:
ac = v^2 cdot 2piT
Onde ac = 4pi^2 l v^2 é a aceleração centrípeta. Sabemos que para movimento circular, pode ser expressa como:
Mas como estamos trabalhando com frequência (rotações por unidade de tempo), podemos relacionar a aceleração centrípeta diretamente com usando a fórmula:
Aqui, é o comprimento da mola quando estendida.

Passo 3

Agora, vamos considerar a Lei de Hooke, que nos diz que a força exercida pela mola Fm = k cdot De é proporcional à sua deformação. A fórmula é:
Fm = Fc
Onde k cdot (l - l0) = m cdot 4pi^2 l v^2 é a variação no comprimento da mola em relação ao seu comprimento natural . Nesse caso, a tração na mola precisa fornecer a força centrípeta para manter a massa em movimento circular. Então, temos:
Substituindo as fórmulas, fica:

Passo 4

Vamos resolver essa equação para k cdot l - k cdot l0 = 4pi^2 m v^2 l . Primeiro, distribuímos o k cdot l - 4pi^2 m v^2 l = k cdot l0 :
l (k - 4pi^2 m v^2) = k cdot l0
Agora, vamos reunir os termos com l = k cdot l0k - 4pi^2 m v^2 de um lado:
Fatorando :
Finalmente, isolamos :

Passo 5

Agora que temos Fm = 4pi^2 m v^2 l , podemos substituir de volta na expressão da força centrípeta para encontrar a tração Fm = 4pi^2 m v^2 cdot k cdot l0k - 4pi^2 m v^2 :
Fm = 4pi^2 m k l0 v^2k - 4pi^2 m v^2
Substituindo :
Simplificando, temos:

Resposta

A tração na mola é dada por:
Fm = 4pi^2 m k l0 v^2k - 4pi^2 m v^2

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