9^circ ) Uma massa puntiforme m parte do repouso a partir do topo de uma esfera de raio r e desliza sem atrito. Medindo-se os ângulos a partir da vertical mostre que a massa abandona a superfície da esfera no ângulo cos ^-1 2 / 3.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no problema. Temos uma massa que parte do repouso do topo de uma esfera de raio e desliza sem atrito. Queremos descobrir em qual ângulo essa massa vai abandonar a superfície da esfera, medindo os ângulos a partir da vertical. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de conservação de energia e forças centrípetas na física.

Passo 2

Primeiro, vamos considerar a conservação da energia. Como não há atrito, a energia mecânica da massa é conservada. No ponto de partida, toda a energia é potencial gravitacional, já que a massa parte do repouso.
A energia potencial inicial ( Ui = mgh ) na posição inicial (topo da esfera) é:
Ui = mgr
Onde é a altura, que no topo da esfera é igual ao raio , então:

Passo 3

À medida que a massa desce, parte da energia potencial é convertida em energia cinética ( K = 12mv^2 ). A energia cinética em qualquer ponto é dada por:
U = mg(r - rcostheta) = mgr(1 - costheta)
E a energia potencial no ângulo Ui = U + K é:
mgr = mgr(1 - costheta) + 12mv^2
Pela conservação de energia:
Então:

Passo 4

Vamos simplificar essa equação. Primeiro, podemos cancelar gr = gr(1 - costheta) + 12v^2 dos dois lados:
gr - gr(1 - costheta) = 12v^2
Agora, isolamos grcostheta = 12v^2 :
2grcostheta = v^2
Multiplicando ambos os lados por 2:

Passo 5

Agora, vamos analisar as forças atuando na massa no ponto onde ela está no ângulo Fc = mv^2r . As duas forças principais são:
  1. A força gravitacional: mgcostheta = mv^2r verticalmente para baixo.
  2. A força normal: perpendicular à superfície da esfera.
Para a massa continuar na trajetória circular, a força centrípeta necessária é:
No ponto onde a massa está, a componente da força gravitacional que atua na direção centrípeta é . A força normal também contribui para a força centrípeta. No momento em que a massa deixa a superfície, a força normal se torna zero. Portanto, nesse ponto:

Passo 6

Podemos cancelar gcostheta = v^2r = 2grcosthetar = 2gcostheta dos dois lados e substituir gcostheta = 2gcostheta da equação anterior:
costheta = 23
Então:
Isso nos leva a:

Resposta

A massa abandona a superfície da esfera no ângulo .

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