) Uma massa puntiforme
parte do repouso a partir do topo de uma esfera de raio r e desliza sem atrito. Medindo-se os ângulos a partir da vertical mostre que a massa abandona a superfície da esfera no ângulo
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no problema. Temos uma massa
que parte do repouso do topo de uma esfera de raio
e desliza sem atrito. Queremos descobrir em qual ângulo essa massa vai abandonar a superfície da esfera, medindo os ângulos a partir da vertical. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de conservação de energia e forças centrípetas na física.
Passo 2
Primeiro, vamos considerar a conservação da energia. Como não há atrito, a energia mecânica da massa é conservada. No ponto de partida, toda a energia é potencial gravitacional, já que a massa parte do repouso.
A energia potencial inicial (
) na posição inicial (topo da esfera) é:
Onde
é a altura, que no topo da esfera é igual ao raio
, então:
Passo 3
À medida que a massa desce, parte da energia potencial é convertida em energia cinética (
). A energia cinética em qualquer ponto é dada por:
E a energia potencial no ângulo
é:
Pela conservação de energia:
Então:
Passo 4
Vamos simplificar essa equação. Primeiro, podemos cancelar
dos dois lados:
Agora, isolamos
:
Multiplicando ambos os lados por 2:
Passo 5
Agora, vamos analisar as forças atuando na massa no ponto onde ela está no ângulo
. As duas forças principais são:
- A força gravitacional:
verticalmente para baixo. - A força normal:
perpendicular à superfície da esfera.
Para a massa continuar na trajetória circular, a força centrípeta necessária é:
No ponto onde a massa está, a componente da força gravitacional que atua na direção centrípeta é
. A força normal
também contribui para a força centrípeta. No momento em que a massa deixa a superfície, a força normal
se torna zero. Portanto, nesse ponto:
Passo 6
Podemos cancelar
dos dois lados e substituir
da equação anterior:
Então:
Isso nos leva a:
Resposta
A massa abandona a superfície da esfera no ângulo
.
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TIM
()
*
Yo윤.
anos na regiāo nordeste e na regiāo sul sāo a braça e a Arroba. Imagine que numa feisa cultol as ayuas unidades estão sendo utilizadas
- Uma partícula move-se conforme a figura ilustrada a seguir.
A posição da partícula no eixoé descrita pela equação:
De acordo com essas informações, responda:
(a) Quais as funções para a velocidade e para a aceleração em função do tempo para o movimento dessa partícula?
(a) Quais as funções para a velocidade e para a aceleração em função do tempo para o movimento dessa partícula?