) Uma massa puntiforme parte do repouso a partir do topo de uma esfera de raio r e desliza sem atrito. Medindo-se os ângulos a partir da vertical mostre que a massa abandona a superfície da esfera no ângulo .

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no problema. Temos uma massa que parte do repouso do topo de uma esfera de raio e desliza sem atrito. Queremos descobrir em qual ângulo essa massa vai abandonar a superfície da esfera, medindo os ângulos a partir da vertical. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de conservação de energia e forças centrípetas na física.

Passo 2

Primeiro, vamos considerar a conservação da energia. Como não há atrito, a energia mecânica da massa é conservada. No ponto de partida, toda a energia é potencial gravitacional, já que a massa parte do repouso.
A energia potencial inicial ( ) na posição inicial (topo da esfera) é:
Onde é a altura, que no topo da esfera é igual ao raio , então:

Passo 3

À medida que a massa desce, parte da energia potencial é convertida em energia cinética ( ). A energia cinética em qualquer ponto é dada por:
E a energia potencial no ângulo é:
Pela conservação de energia:
Então:

Passo 4

Vamos simplificar essa equação. Primeiro, podemos cancelar dos dois lados:
Agora, isolamos :
Multiplicando ambos os lados por 2:

Passo 5

Agora, vamos analisar as forças atuando na massa no ponto onde ela está no ângulo . As duas forças principais são:
  1. A força gravitacional: verticalmente para baixo.
  2. A força normal: perpendicular à superfície da esfera.
Para a massa continuar na trajetória circular, a força centrípeta necessária é:
No ponto onde a massa está, a componente da força gravitacional que atua na direção centrípeta é . A força normal também contribui para a força centrípeta. No momento em que a massa deixa a superfície, a força normal se torna zero. Portanto, nesse ponto:

Passo 6

Podemos cancelar dos dois lados e substituir da equação anterior:
Então:
Isso nos leva a:

Resposta

A massa abandona a superfície da esfera no ângulo .

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TIM
()
*
Yo윤.


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