8^circ ) Uma haste rígida de massa desprezível e comprimento l tem um objeto de massa m ligada à uma de suas extremidade formando um pêndulo simples. Ela é invertida verticalmente e em seguida largada. Mostre que a tensão na haste quando a massa atingir o ponto mais baixo de sua trajetória será 5 mg .

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um pêndulo simples, que é uma haste rígida de comprimento com uma massa na extremidade. A haste é invertida (fica para cima) e depois solta. Precisamos descobrir qual é a tensão na haste quando a massa passa pelo ponto mais baixo da sua trajetória. Para resolver isso, vamos usar conceitos de forças em movimento circular e conservação de energia.

Passo 2

Primeiro, vamos pensar nas forças que atuam na massa quando ela está no ponto mais baixo. Existem duas forças principais:
  1. Peso da massa ( Fc = mv^2l ): atua para baixo.
  2. Tensão na haste ( ): atua para cima e precisa fornecer a força centrípeta para manter a massa em movimento circular.
A força centrípeta necessária para o movimento circular é dada por:
onde é a velocidade da massa no ponto mais baixo.

Passo 3

A soma das forças que atuam na massa no ponto mais baixo deve ser igual à força centrípeta:
T - mg = mv^2l
Nosso objetivo é encontrar , mas precisamos primeiro descobrir a velocidade da massa nesse ponto.

Passo 4

Para achar De, vamos usar a conservação de energia. Quando a haste é invertida e solta, toda a energia potencial gravitacional se transforma em energia cinética no ponto mais baixo.
A variação da energia potencial ( De) quando a massa desce é:
Como a haste tem comprimento e está invertida, a altura que a massa desce é . Então:

Passo 5

A energia cinética ( K = 12mv^2 ) no ponto mais baixo é:
mg cdot 2l = 12mv^2
Pela conservação de energia, 2mg l = 12mv^2 v^2 = 4g l1 = 4g l :
Vamos resolver isso para :

Passo 6

Agora que temos T - mg = mv^2l T - mg = m cdot 4g ll T - mg = 4mg T = 4mg + mg T = 5mg , vamos substituir na equação das forças:

Resposta

A tensão na haste quando a massa atinge o ponto mais baixo da trajetória é .

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