- Um objeto de massa
se move ao longo do eixo
sob a influência de duas forças: (i) uma força de atração em direção à origem que é numericamente igual a
(ii) uma força de amortecimento cuja magnitude é
) N. (a) Qual é o período do movimento? (b) Quanto tempo leva para que a amplitude das oscilações amortecidas na queda atinja a metade de seu valor inicial? © Quanto tempo leva para que a energia mecânica caia para a metade de seu valor inicial?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de Física! A gente tem um objeto de massa
que se move ao longo do eixo
sob a influência de duas forças: uma que puxa o objeto de volta para a origem e outra que faz o movimento desacelerar, como um amortecedor. Vamos precisar usar conceitos de movimento harmônico amortecido e fórmulas relacionadas à frequência, período e decaimento da amplitude e da energia.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as forças atuantes:
-
Força de restauração: É a força que puxa o objeto de volta para a posição de equilíbrio (a origem). Ela é proporcional ao deslocamento
e pode ser expressa como: Ondeé a constante elástica. -
Força de amortecimento: Essa força depende da velocidade do objeto e atua na direção oposta ao movimento, diminuindo a amplitude das oscilações. É dada por:Onde
é o coeficiente de amortecimento.
Passo 3
Com essas forças, podemos montar a equação do movimento para um sistema massa-mola amortecido:
Onde
é a massa do objeto.
Passo 4
Vamos resolver a letra (a): Qual é o período do movimento?
Para movimentos harmônicos amortecidos, o período
é dado por:
Onde
é a frequência angular amortecida, calculada por:
E
é a frequência angular natural, dada por:
Vamos calcular passo a passo.
Passo 5
Primeiro, calculamos
:
Passo 6
Agora, calculamos
:
Passo 7
Em seguida, calculamos
:
Passo 8
Finalmente, encontramos o período
:
Passo 9
Agora, vamos para a letra (b): Quanto tempo leva para que a amplitude das oscilações amortecidas caia para metade do valor inicial?
A amplitude em um movimento amortecido decai exponencialmente conforme:
Queremos encontrar o tempo
tal que
:
Dividindo ambos os lados por
:
Aplicando o logaritmo natural:
Resolvendo para
:
Substituindo os valores:
Passo 10
Agora, para a letra ©: Quanto tempo leva para que a energia mecânica caia para metade do valor inicial?
A energia mecânica
em um sistema amortecido decai conforme:
Queremos encontrar o tempo
tal que
:
Dividindo ambos os lados por
:
Aplicando o logaritmo natural:
Resolvendo para
:
Substituindo os valores:
Resposta
(a) O período do movimento é aproximadamente 0,215 segundos.
(b) Leva cerca de 1,98 segundos para a amplitude das oscilações amortecidas cair para metade do valor inicial.
© Leva aproximadamente 0,990 segundos para que a energia mecânica caia para a metade do valor inicial.