1. Um objeto de massa 0,1 kg se move ao longo do eixo x sob a influência de duas forças: (i) uma força de atração em direção à origem que é numericamente igual a 85 times(t) Ne (ii) uma força de amortecimento cuja magnitude é 0,07(dx / dt ) N. (a) Qual é o período do movimento? (b) Quanto tempo leva para que a amplitude das oscilações amortecidas na queda atinja a metade de seu valor inicial? © Quanto tempo leva para que a energia mecânica caia para a metade de seu valor inicial?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de Física! A gente tem um objeto de massa que se move ao longo do eixo sob a influência de duas forças: uma que puxa o objeto de volta para a origem e outra que faz o movimento desacelerar, como um amortecedor. Vamos precisar usar conceitos de movimento harmônico amortecido e fórmulas relacionadas à frequência, período e decaimento da amplitude e da energia.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as forças atuantes:
  1. Força de restauração: É a força que puxa o objeto de volta para a posição de equilíbrio (a origem). Ela é proporcional ao deslocamento Frestauração = -k x e pode ser expressa como:
    Famortecimento = -c dxdt çã
    Onde é a constante elástica.
  2. Força de amortecimento: Essa força depende da velocidade do objeto e atua na direção oposta ao movimento, diminuindo a amplitude das oscilações. É dada por:
    Onde é o coeficiente de amortecimento.

Passo 3

Com essas forças, podemos montar a equação do movimento para um sistema massa-mola amortecido:
m d^2xdt^2 + c dxdt + k x = 0
Onde é a massa do objeto.

Passo 4

Vamos resolver a letra (a): Qual é o período do movimento?
Para movimentos harmônicos amortecidos, o período T = 2piomegad é dado por:
omegad = raizomega0^2 - (c2m)^2
Onde omega0 = raizkm é a frequência angular amortecida, calculada por:
E é a frequência angular natural, dada por:
Vamos calcular passo a passo.

Passo 5

Primeiro, calculamos omega0 = raiz850,1 = raiz850 approx 29,1548 , rad/s :

Passo 6

Agora, calculamos c2m = 0,072 times 0,1 = 0,070,2 = 0,35 , s^-1 :

Passo 7

Em seguida, calculamos omegad = raiz29,1548^2 - 0,35^2 = raiz850 - 0,1225 = raiz849,8775 approx 29,154 , rad/s :

Passo 8

Finalmente, encontramos o período T = 2pi29,154 approx 6,283229,154 approx 0,215 , segundos :

Passo 9

Agora, vamos para a letra (b): Quanto tempo leva para que a amplitude das oscilações amortecidas caia para metade do valor inicial?
A amplitude em um movimento amortecido decai exponencialmente conforme:
A(t) = A0 e^-c2m t
Queremos encontrar o tempo A02 = A0 e^-c2m t1/2 tal que 12 = e^-c2m t1/2 :
ln(12) = -c2m t1/2
Dividindo ambos os lados por t1/2 = 2mc ln(2) :
t1/2 = 2 times 0,10,07 times 0,6931 approx 1,980 , segundos
Aplicando o logaritmo natural:
Resolvendo para :
Substituindo os valores:

Passo 10

Agora, para a letra ©: Quanto tempo leva para que a energia mecânica caia para metade do valor inicial?
A energia mecânica E(t) = E0 e^-cm t em um sistema amortecido decai conforme:
E02 = E0 e^-cm tE1/2
Queremos encontrar o tempo 12 = e^-cm tE1/2 tal que ln(12) = -cm tE1/2 :
tE1/2 = mc ln(2)
Dividindo ambos os lados por tE1/2 = 0,10,07 times 0,6931 approx 0,990 , segundos :
Aplicando o logaritmo natural:
Resolvendo para :
Substituindo os valores:

Resposta

(a) O período do movimento é aproximadamente 0,215 segundos.
(b) Leva cerca de 1,98 segundos para a amplitude das oscilações amortecidas cair para metade do valor inicial.
© Leva aproximadamente 0,990 segundos para que a energia mecânica caia para a metade do valor inicial.

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