- Uma particula de massa
se move ao longo do eixo
atraida em direçäo à origem por uma força cuja magnitude é numericamente igual a
, onde
representa a posiçảo da partícula. A partícula também está sujeita a uma força de amortecimento cuja magnitude ê numericamente igual a
representa a velocidade instantânea da particula no instante t. (a) Determine o tipo de amortecimento na qual a particula está sujeita e; (b) considerando que a partícula no instante inicial
esteja inicialmente em repouso em
, encontre a posição e a velocidade da partícula em qualquer momento t do movimento.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma partícula de massa
que se move ao longo do eixo
. Ela está sendo puxada em direção à origem por uma força que depende da posição
e também está sofrendo uma força de amortecimento que depende da velocidade
. A matéria envolvida aqui é a mecânica de sistemas oscilatórios com amortecimento. Para resolver isso, vamos precisar usar as equações do movimento com força restauradora e força de amortecimento.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as forças atuantes na partícula. A força que puxa a partícula para a origem é proporcional à posição
, então podemos escrever:
Onde
é a constante da mola. Segundo o enunciado, a magnitude dessa força é igual a
, então:
A força de amortecimento é proporcional à velocidade
:
Com
.
Passo 3
Agora, vamos montar a equação do movimento usando a segunda lei de Newton:
Substituindo os valores:
Dividindo tudo por 3 para simplificar:
Passo 4
Para determinar o tipo de amortecimento, vamos comparar com a equação padrão de movimento amortecido:
Onde:
-
é o coeficiente de amortecimento específico. -
é a frequência natural não amortecida.
Comparando com nossa equação:
Agora, calculamos o discriminante para identificar o tipo de amortecimento:
Passo 5
Como o discriminante
, isso indica que o sistema está no amortecimento crítico. Isso significa que o sistema retorna ao equilíbrio o mais rapidamente possível sem oscilar.
Passo 6
Agora, vamos resolver a equação diferencial para encontrar a posição
e a velocidade
.
A solução geral para o amortecimento crítico é:
Substituindo
:
Passo 7
Usamos as condições iniciais para encontrar as constantes
e
. Sabemos que:
Primeiro, vamos calcular a derivada de
para achar
:
No instante
:
Passo 8
Agora, substituímos
e
na expressão de
:
E para a velocidade:
Resposta
(a) A partícula está sujeita a um amortecimento crítico.
(b) A posição e a velocidade da partícula em qualquer momento
são dadas por:
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e liberado com velocidade inicial zero, encontre o deslocamento em
Duas cordas muito longas estão emendadas no ponto
. Na região
a velocidade da onda é
, enquanto que na região
a velocidade da onda é
. Uma onda senoidal incide a esquerda
; parte da onda é transmitida e parte é refletida.
Para , o deslocamento da onda é descrido por :
Para
No entanto, para
, a função de onda é descrita por :
onde
e
.
Admitindo que a função de onda y e sua primeira derivada espacial precisam ser contínuas em , encontre quanto vale a razão
em função das variáveis disponíveis no problema.
Admitindo que a função de onda y e sua primeira derivada espacial precisam ser contínuas em
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