1. Uma particula de massa se move ao longo do eixo atraida em direçäo à origem por uma força cuja magnitude é numericamente igual a , onde representa a posiçảo da partícula. A partícula também está sujeita a uma força de amortecimento cuja magnitude ê numericamente igual a representa a velocidade instantânea da particula no instante t. (a) Determine o tipo de amortecimento na qual a particula está sujeita e; (b) considerando que a partícula no instante inicial esteja inicialmente em repouso em , encontre a posição e a velocidade da partícula em qualquer momento t do movimento.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma partícula de massa que se move ao longo do eixo . Ela está sendo puxada em direção à origem por uma força que depende da posição e também está sofrendo uma força de amortecimento que depende da velocidade . A matéria envolvida aqui é a mecânica de sistemas oscilatórios com amortecimento. Para resolver isso, vamos precisar usar as equações do movimento com força restauradora e força de amortecimento.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as forças atuantes na partícula. A força que puxa a partícula para a origem é proporcional à posição , então podemos escrever:
Onde é a constante da mola. Segundo o enunciado, a magnitude dessa força é igual a , então:
A força de amortecimento é proporcional à velocidade :
Com .

Passo 3

Agora, vamos montar a equação do movimento usando a segunda lei de Newton:
Substituindo os valores:
Dividindo tudo por 3 para simplificar:

Passo 4

Para determinar o tipo de amortecimento, vamos comparar com a equação padrão de movimento amortecido:
Onde:
  • é o coeficiente de amortecimento específico.
  • é a frequência natural não amortecida.
Comparando com nossa equação:
Agora, calculamos o discriminante para identificar o tipo de amortecimento:

Passo 5

Como o discriminante , isso indica que o sistema está no amortecimento crítico. Isso significa que o sistema retorna ao equilíbrio o mais rapidamente possível sem oscilar.

Passo 6

Agora, vamos resolver a equação diferencial para encontrar a posição e a velocidade .
A solução geral para o amortecimento crítico é:
Substituindo :

Passo 7

Usamos as condições iniciais para encontrar as constantes e . Sabemos que:
Primeiro, vamos calcular a derivada de para achar :
No instante :

Passo 8

Agora, substituímos e na expressão de :
E para a velocidade:

Resposta

(a) A partícula está sujeita a um amortecimento crítico.
(b) A posição e a velocidade da partícula em qualquer momento são dadas por:

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