1. Uma particula de massa m=3 kg se move ao longo do eixo x atraida em direçäo à origem por uma força cuja magnitude é numericamente igual a 12 times(t), onde x(t) representa a posiçảo da partícula. A partícula também está sujeita a uma força de amortecimento cuja magnitude ê numericamente igual a 12 v(t), v(t) representa a velocidade instantânea da particula no instante t. (a) Determine o tipo de amortecimento na qual a particula está sujeita e; (b) considerando que a partícula no instante inicial t=0 esteja inicialmente em repouso em times(0)=10, encontre a posição e a velocidade da partícula em qualquer momento t do movimento.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma partícula de massa que se move ao longo do eixo . Ela está sendo puxada em direção à origem por uma força que depende da posição e também está sofrendo uma força de amortecimento que depende da velocidade . A matéria envolvida aqui é a mecânica de sistemas oscilatórios com amortecimento. Para resolver isso, vamos precisar usar as equações do movimento com força restauradora e força de amortecimento.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as forças atuantes na partícula. A força que puxa a partícula para a origem é proporcional à posição Frest = -k x(t) , então podemos escrever:
k = 12, N/m
Onde Famort = -c v(t) é a constante da mola. Segundo o enunciado, a magnitude dessa força é igual a , então:
A força de amortecimento é proporcional à velocidade :
Com .

Passo 3

Agora, vamos montar a equação do movimento usando a segunda lei de Newton:
m d^2 x(t)dt^2 = Frest + Famort
Substituindo os valores:
3 d^2 x(t)dt^2 = -12 x(t) - 12 dx(t)dt
Dividindo tudo por 3 para simplificar:
d^2 x(t)dt^2 + 4 dx(t)dt + 4 x(t) = 0

Passo 4

Para determinar o tipo de amortecimento, vamos comparar com a equação padrão de movimento amortecido:
d^2 xdt^2 + 2 gamma dxdt + omega0^2 x = 0
Onde:
  • 2 gamma = 4 Rightarrow gamma = 2 é o coeficiente de amortecimento específico.
  • omega0^2 = 4 Rightarrow omega0 = 2 é a frequência natural não amortecida.
Comparando com nossa equação:
De
Agora, calculamos o discriminante para identificar o tipo de amortecimento:

Passo 5

Como o discriminante , isso indica que o sistema está no amortecimento crítico. Isso significa que o sistema retorna ao equilíbrio o mais rapidamente possível sem oscilar.

Passo 6

Agora, vamos resolver a equação diferencial para encontrar a posição x(t) = (A + B t) e^-gamma t e a velocidade x(t) = (A + B t) e^-2 t .
A solução geral para o amortecimento crítico é:
Substituindo :

Passo 7

Usamos as condições iniciais para encontrar as constantes x(0) = 10 Rightarrow (A + B cdot 0) e^0 = A = 10 e v(0) = 0 . Sabemos que:
v(t) = dx(t)dt = B e^-2 t + (A + B t)(-2) e^-2 t
v(0) = B - 2A = 0 Rightarrow B = 2A = 20
Primeiro, vamos calcular a derivada de para achar :
No instante :

Passo 8

Agora, substituímos x(t) = (10 + 20 t) e^-2 t e v(t) = 20 e^-2 t - 2(10 + 20 t) e^-2 t = (20 - 20 - 40 t) e^-2 t = -40 t e^-2 t na expressão de :
E para a velocidade:

Resposta

(a) A partícula está sujeita a um amortecimento crítico.
(b) A posição e a velocidade da partícula em qualquer momento x(t) = (10 + 20 t) e^-2 t , m são dadas por:
v(t) = -40 t e^-2 t , m/s

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