- O sistema de suspensão de um automóvel é criticamente amortecido e seu periodo de oscilação sem amortecimento é de um segundo. (a) Determine a frequência angular de oscilação e (b) se o sistema for inicialmente deslocado por uma quantidade
e liberado com velocidade inicial zero, encontre o deslocamento em
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo! Temos um sistema de suspensão de um carro que é criticamente amortecido e, sem considerar o amortecimento, o período de oscilação desse sistema é de um segundo. Nosso objetivo aqui é:
- Parte (a): Encontrar a frequência angular da oscilação.
- Parte (b): Descobrir o deslocamento do sistema após 2 segundos, dado que ele foi inicialmente deslocado por uma quantidade
e liberado sem velocidade inicial.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de mecânica clássica, especialmente relacionados a movimento harmônico e sistemas amortecidos.
Passo 2
Parte (a): Determinar a frequência angular de oscilação
Primeiro, vamos lembrar a relação entre o período
e a frequência angular
em um sistema oscilatório sem amortecimento:
Aqui,
segundo. Então, substituindo:
A frequência angular
é igual a
radianos por segundo.
Passo 3
Parte (b): Encontrar o deslocamento em
segundos
Sabemos que o sistema é criticamente amortecido. Em um sistema criticamente amortecido, o deslocamento
pode ser descrito pela equação:
Onde:
-
e são constantes que determinam as condições iniciais. -
é a frequência angular que já calculamos ( rad/s).
Condições iniciais:
- Deslocamento inicial:
- Velocidade inicial:
Vamos aplicar essas condições para encontrar
e
.
- Para
:
- Para
:
Primeiro, calculamos a derivada de
:
Aplicando
:
Agora, substituindo
e
na equação de
:
Finalmente, substituímos
segundos:
Sabendo que
, temos:
Resposta
(a) A frequência angular de oscilação é
rad/s.
(b) O deslocamento após 2 segundos é
.