1. O sistema de suspensão de um automóvel é criticamente amortecido e seu periodo de oscilação sem amortecimento é de um segundo. (a) Determine a frequência angular de oscilação e (b) se o sistema for inicialmente deslocado por uma quantidade x0 e liberado com velocidade inicial zero, encontre o deslocamento em t=2 s

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo! Temos um sistema de suspensão de um carro que é criticamente amortecido e, sem considerar o amortecimento, o período de oscilação desse sistema é de um segundo. Nosso objetivo aqui é:
  • Parte (a): Encontrar a frequência angular da oscilação.
  • Parte (b): Descobrir o deslocamento do sistema após 2 segundos, dado que ele foi inicialmente deslocado por uma quantidade e liberado sem velocidade inicial.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de mecânica clássica, especialmente relacionados a movimento harmônico e sistemas amortecidos.

Passo 2

Parte (a): Determinar a frequência angular de oscilação
Primeiro, vamos lembrar a relação entre o período omega = 2piT e a frequência angular omega = 2pi1 = 2pi , rad/s em um sistema oscilatório sem amortecimento:
Aqui, segundo. Então, substituindo:
A frequência angular é igual a radianos por segundo.

Passo 3

Parte (b): Encontrar o deslocamento em x(t) = (A + Bt) e^-omega t segundos
Sabemos que o sistema é criticamente amortecido. Em um sistema criticamente amortecido, o deslocamento x(0) = (A + B cdot 0) e^0 Rightarrow A = x0 pode ser descrito pela equação:
dotx(t) = B e^-omega t - omega (A + Bt) e^-omega t
Onde:
  • dotx(0) = B e^0 - omega A e^0 = B - omega A = 0 Rightarrow B = omega A = omega x0 e x(t) = (x0 + omega x0 t) e^-omega t = x0 (1 + omega t) e^-omega t são constantes que determinam as condições iniciais.
  • x(2) = x0 (1 + omega cdot 2) e^-omega cdot 2 é a frequência angular que já calculamos ( x(2) = x0 (1 + 2 cdot 2pi) e^-2 cdot 2pi = x0 (1 + 4pi) e^-4pi rad/s).
Condições iniciais:
  1. Deslocamento inicial:
  2. Velocidade inicial:
Vamos aplicar essas condições para encontrar e .
  1. Para :
  1. Para :
Primeiro, calculamos a derivada de :
Aplicando :
Agora, substituindo e na equação de :
Finalmente, substituímos segundos:
Sabendo que , temos:

Resposta

(a) A frequência angular de oscilação é rad/s.
(b) O deslocamento após 2 segundos é .

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