1. O sistema de suspensão de um automóvel é criticamente amortecido e seu periodo de oscilação sem amortecimento é de um segundo. (a) Determine a frequência angular de oscilação e (b) se o sistema for inicialmente deslocado por uma quantidade e liberado com velocidade inicial zero, encontre o deslocamento em

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo! Temos um sistema de suspensão de um carro que é criticamente amortecido e, sem considerar o amortecimento, o período de oscilação desse sistema é de um segundo. Nosso objetivo aqui é:
  • Parte (a): Encontrar a frequência angular da oscilação.
  • Parte (b): Descobrir o deslocamento do sistema após 2 segundos, dado que ele foi inicialmente deslocado por uma quantidade e liberado sem velocidade inicial.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de mecânica clássica, especialmente relacionados a movimento harmônico e sistemas amortecidos.

Passo 2

Parte (a): Determinar a frequência angular de oscilação
Primeiro, vamos lembrar a relação entre o período e a frequência angular em um sistema oscilatório sem amortecimento:
Aqui, segundo. Então, substituindo:
A frequência angular é igual a radianos por segundo.

Passo 3

Parte (b): Encontrar o deslocamento em segundos
Sabemos que o sistema é criticamente amortecido. Em um sistema criticamente amortecido, o deslocamento pode ser descrito pela equação:
Onde:
  • e são constantes que determinam as condições iniciais.
  • é a frequência angular que já calculamos ( rad/s).
Condições iniciais:
  1. Deslocamento inicial:
  2. Velocidade inicial:
Vamos aplicar essas condições para encontrar e .
  1. Para :
  1. Para :
Primeiro, calculamos a derivada de :
Aplicando :
Agora, substituindo e na equação de :
Finalmente, substituímos segundos:
Sabendo que , temos:

Resposta

(a) A frequência angular de oscilação é rad/s.
(b) O deslocamento após 2 segundos é .

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Para , o deslocamento da onda é descrido por :
No entanto, para , a função de onda é descrita por :
onde e .
Admitindo que a função de onda y e sua primeira derivada espacial precisam ser contínuas em , encontre quanto vale a razão em função das variáveis disponíveis no problema.
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e , onde x está em centímetros e t em segundos.
Determine o deslocamento máximo do movimento em
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