Cinco partículas idênticas que não interagem entre si são colocadas em um poço quadrado unidimensional com largura 1 nm . Encontre a menor energia do sistema se (a) as partículas forem elétrons e (b) píons. Os píons têm massa
e função de onda simétrica.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre cinco partículas idênticas que não interagem entre si, colocadas em um poço quadrado unidimensional de 1 nm de largura. Precisamos encontrar a menor energia do sistema nas duas situações: quando as partículas são elétrons e quando são píons. Para isso, vamos usar conceitos de mecânica quântica, especificamente sobre partículas em um potencial infinito (o poço quadrado). Vamos precisar das fórmulas de energia dos estados quantizados e entender as diferenças entre elétrons (fermions) e píons (bosons).
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular a energia das partículas em um poço unidimensional. A energia dos estados quantizados em um poço infinito é dada por:
Onde:
-
é a energia do nível -
é um número inteiro positivo (1, 2, 3, …) -
é a constante de Planck reduzida -
é a massa da partícula -
é a largura do poço
Passo 3
Vamos calcular a energia para cada partícula, começando pelos elétrons. Sabemos que elétrons são férmions, ou seja, obedecem o princípio de exclusão de Pauli, que impede que duas partículas idênticas ocupem o mesmo estado quântico. Portanto, cada elétron deve ocupar um nível de energia diferente.
Passo 4
Para cinco elétrons, vamos preencher os níveis de energia começando do menor. Os níveis disponíveis são
. A energia total será a soma das energias individuais:
Substituindo na fórmula:
Calculando a soma:
Então:
Passo 5
Agora, vamos calcular para os píons. Píons são bósons, o que significa que múltiplas partículas podem ocupar o mesmo estado quântico. Além disso, a massa dos píons é 264 vezes a massa do elétron (
). Como queremos a menor energia, todos os cinco píons podem ocupar o nível mais baixo (
).
A energia total será:
Substituindo
:
Passo 6
Vamos resumir os resultados:
-
Elétrons (Férmions):
-
Píons (Bósons):
Resposta
A menor energia do sistema é:
-
(a) Para os elétrons:
-
(b) Para os píons: