Cinco partículas idênticas que não interagem entre si são colocadas em um poço quadrado unidimensional com largura 1 nm . Encontre a menor energia do sistema se (a) as partículas forem elétrons e (b) píons. Os píons têm massa 264 me e função de onda simétrica.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre cinco partículas idênticas que não interagem entre si, colocadas em um poço quadrado unidimensional de 1 nm de largura. Precisamos encontrar a menor energia do sistema nas duas situações: quando as partículas são elétrons e quando são píons. Para isso, vamos usar conceitos de mecânica quântica, especificamente sobre partículas em um potencial infinito (o poço quadrado). Vamos precisar das fórmulas de energia dos estados quantizados e entender as diferenças entre elétrons (fermions) e píons (bosons).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular a energia das partículas em um poço unidimensional. A energia dos estados quantizados em um poço infinito é dada por:
En = n^2 pi^2 hbar^22 m L^2
Onde:
  • é a energia do nível
  • é um número inteiro positivo (1, 2, 3, …)
  • é a constante de Planck reduzida
  • é a massa da partícula
  • é a largura do poço

Passo 3

Vamos calcular a energia para cada partícula, começando pelos elétrons. Sabemos que elétrons são férmions, ou seja, obedecem o princípio de exclusão de Pauli, que impede que duas partículas idênticas ocupem o mesmo estado quântico. Portanto, cada elétron deve ocupar um nível de energia diferente.

Passo 4

Para cinco elétrons, vamos preencher os níveis de energia começando do menor. Os níveis disponíveis são Etotal = E1 + E2 + E3 + E4 + E5 . A energia total será a soma das energias individuais:
Etotal = pi^2 hbar^22 me L^2 (1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2)
Substituindo na fórmula:
1 + 4 + 9 + 16 + 25 = 55
Calculando a soma:
Etotal = 55 pi^2 hbar^22 me L^2
Então:

Passo 5

Agora, vamos calcular para os píons. Píons são bósons, o que significa que múltiplas partículas podem ocupar o mesmo estado quântico. Além disso, a massa dos píons é 264 vezes a massa do elétron ( Etotal = 5 times E1 = 5 times pi^2 hbar^22 mpi L^2 ). Como queremos a menor energia, todos os cinco píons podem ocupar o nível mais baixo ( Etotal = 5 pi^2 hbar^22 times 264 me L^2 ).
A energia total será:
Substituindo :

Passo 6

Vamos resumir os resultados:
  • Elétrons (Férmions):
    Etotal = 55 pi^2 hbar^22 me L^2
  • Píons (Bósons):
    Etotal = 5 pi^2 hbar^22 times 264 me L^2

Resposta

A menor energia do sistema é:
  • (a) Para os elétrons:
    Etotal = 55 pi^2 hbar^22 me (1, nm)^2
  • (b) Para os píons:
    Etotal = 5 pi^2 hbar^22 times 264 me (1, nm)^2

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