Cinco partículas idênticas que não interagem entre si são colocadas em um poço quadrado unidimensional com largura 1 nm . Encontre a menor energia do sistema se (a) as partículas forem elétrons e (b) píons. Os píons têm massa
e função de onda simétrica.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre cinco partículas idênticas que não interagem entre si, colocadas em um poço quadrado unidimensional de 1 nm de largura. Precisamos encontrar a menor energia do sistema nas duas situações: quando as partículas são elétrons e quando são píons. Para isso, vamos usar conceitos de mecânica quântica, especificamente sobre partículas em um potencial infinito (o poço quadrado). Vamos precisar das fórmulas de energia dos estados quantizados e entender as diferenças entre elétrons (fermions) e píons (bosons).
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular a energia das partículas em um poço unidimensional. A energia dos estados quantizados em um poço infinito é dada por:
Onde:
-
é a energia do nível -
é um número inteiro positivo (1, 2, 3, …) -
é a constante de Planck reduzida -
é a massa da partícula -
é a largura do poço
Passo 3
Vamos calcular a energia para cada partícula, começando pelos elétrons. Sabemos que elétrons são férmions, ou seja, obedecem o princípio de exclusão de Pauli, que impede que duas partículas idênticas ocupem o mesmo estado quântico. Portanto, cada elétron deve ocupar um nível de energia diferente.
Passo 4
Para cinco elétrons, vamos preencher os níveis de energia começando do menor. Os níveis disponíveis são
. A energia total será a soma das energias individuais:
Substituindo na fórmula:
Calculando a soma:
Então:
Passo 5
Agora, vamos calcular para os píons. Píons são bósons, o que significa que múltiplas partículas podem ocupar o mesmo estado quântico. Além disso, a massa dos píons é 264 vezes a massa do elétron (
). Como queremos a menor energia, todos os cinco píons podem ocupar o nível mais baixo (
).
A energia total será:
Substituindo
:
Passo 6
Vamos resumir os resultados:
-
Elétrons (Férmions):
-
Píons (Bósons):
Resposta
A menor energia do sistema é:
-
(a) Para os elétrons:
-
(b) Para os píons:
Exercícios relacionados
- Um objeto de massa
se move ao longo do eixo sob a influência de duas forças: (i) uma força de atração em direção à origem que é numericamente igual a (ii) uma força de amortecimento cuja magnitude é ) N. (a) Qual é o período do movimento? (b) Quanto tempo leva para que a amplitude das oscilações amortecidas na queda atinja a metade de seu valor inicial? © Quanto tempo leva para que a energia mecânica caia para a metade de seu valor inicial?
- Uma particula de massa
se move ao longo do eixo atraida em direçäo à origem por uma força cuja magnitude é numericamente igual a , onde representa a posiçảo da partícula. A partícula também está sujeita a uma força de amortecimento cuja magnitude ê numericamente igual a representa a velocidade instantânea da particula no instante t. (a) Determine o tipo de amortecimento na qual a particula está sujeita e; (b) considerando que a partícula no instante inicial esteja inicialmente em repouso em , encontre a posição e a velocidade da partícula em qualquer momento t do movimento.
Em quais dos átomos a seguir o estado fundamental é desdobrado pela interação spin-órbita?
, Ga.
Efeito Zeeman. Considere a situação em que átomos contendo elétrons desemparelhados (apenas um elétron na camada de valência) são submetidos a um campo magnético. Havendo apenas um elétron, há dois níveis de energia disponíveis, correspondentes a
. Na técnica conhecida como ESR - electron spin resonance, fótons são emitidos na amostra para promover os elétrons do estado de menor energia (com momento magnético alinhado ao campo externo) para o estado de maior energia (momento magnético desalinhado com
). Calcule a frequência do fóton que promove esta transição, considerando que
. Resposta:
.