Questão: (Valor: 2,5) Uma partícula se movimenta de modo que sua posição em função do tempo é dada por:
r(t)=i+2 t^2 j-t k
(a) (1,25 pts) Escreva a expressão para a sua velocidade (v) e ac̣eleração (a) em função do tempo.
(b) (1,25 pts) Calcule o valor da velocidade v e aceleração a para o tempo t=3,0 s, e calcule o valor de (x, y, z) para t= 4,0 s.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma questão de cinemática vetorial, que faz parte da física. O enunciado nos dá a posição de uma partícula em função do tempo e pede para encontrar a velocidade e a aceleração dessa partícula, além de calcular valores específicos dessas grandezas em certos instantes de tempo. Para resolver isso, vamos precisar usar derivadas, que são ferramentas matemáticas para encontrar taxas de variação.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte (a), onde precisamos encontrar as expressões da velocidade r(t) = i + 2 t^2 j - t k e da aceleração v(t) = dr(t)dt em função do tempo.
A posição da partícula é dada por:
v(t) = 0 i + 4t j - 1 k = 4t j - k
Velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo:
a(t) = dv(t)dt
Vamos derivar cada componente:
  • Componente a(t) = 4 j : a derivada de uma constante é zero.
  • Componente : .
  • Componente : .
Então, a velocidade fica:
Aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo:
Vamos derivar cada componente da velocidade:
  • Componente : .
  • Componente : a derivada de uma constante é zero.
Então, a aceleração fica:

Passo 3

Agora, vamos para a parte (b), onde precisamos calcular valores específicos para v(3,0) = 4 times 3,0 j - k = 12 j - k m/s s e a(3,0) = 4 j m/s^2 s.
Primeiro, vamos calcular a velocidade e a aceleração em r(4,0) = i + 2 times (4,0)^2 j - 4,0 k = i + 32 j - 4 k m s usando as expressões que encontramos:
A velocidade em s:
A aceleração em s:
Agora, vamos encontrar a posição em s usando a expressão original da posição:

Resposta

(a) A expressão da velocidade é v(3,0) = 12,j - k m/s e da aceleração é a(3,0) = 4,j m/s^2 .
(b) Para r(4,0) = i + 32,j - 4,k m s:
Para s, a posição é:

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