9a Questão Uma esfera com 6,00 cm de raio possui uma densidade de carga uniforme de
. Considere uma superficie gaussiana cúbica concêntrica com a esfera. Determine o fluxo elétrico através da superfície cúbica se a aresta do cubo for (a)
(b)
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma esfera com raio de 6,00 cm e uma densidade de carga uniforme de
. A missão é encontrar o fluxo elétrico que passa por uma superfície cúbica que é concêntrica com a esfera, ou seja, tem o mesmo centro. Precisamos fazer isso para dois tamanhos de cubo diferentes: um com aresta de 4,00 cm e outro com 14,0 cm. Para resolver isso, vamos usar o conceito de Lei de Gauss da eletricidade.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é fluxo elétrico. Fluxo elétrico é basicamente uma medida de quantas linhas de campo elétrico passam por uma área. A Lei de Gauss nos diz que o fluxo elétrico através de uma superfície fechada é igual à carga total dentro dessa superfície dividida pela constante elétrica
.
A fórmula da Lei de Gauss é:
Onde:
-
é o fluxo elétrico, -
é a carga total dentro da superfície, -
é a constante de permissividade elétrica do vácuo ( ).
Passo 3
Vamos calcular a carga total
na esfera. Como a densidade de carga é
e a esfera é uma superfície carregada (como uma casca), a carga total é a densidade de carga vezes a área da superfície da esfera.
A área de uma esfera é dada por:
Onde
é o raio da esfera.
Vamos calcular:
Então, a carga total é:
Passo 4
Agora vamos analisar os dois casos:
a) Aresta do cubo = 4,00 cm (0,04 m)
O cubo tem aresta de 4,00 cm, então a distância do centro até uma face do cubo é metade disso, ou seja, 2,00 cm (0,02 m). Como o raio da esfera é 6,00 cm (0,06 m), o cubo está inteiramente dentro da esfera.
Segundo a Lei de Gauss, se não há carga dentro da superfície gaussiana, o fluxo elétrico é zero. Como o cubo está dentro da esfera e a carga está na superfície da esfera, não há carga dentro do cubo.
Portanto:
Passo 5
b) Aresta do cubo = 14,0 cm (0,14 m)
Agora, o cubo tem aresta de 14,0 cm, então a distância do centro até uma face é 7,00 cm (0,07 m). Como o raio da esfera é 6,00 cm (0,06 m), o cubo envolve totalmente a esfera.
Nesse caso, toda a carga da esfera está dentro do cubo. Assim, o fluxo elétrico é dado pela carga total dividida por
.
Vamos calcular:
Resposta
(a) O fluxo elétrico através do cubo de 4,00 cm é
.
(b) O fluxo elétrico através do cubo de 14,0 cm é aproximadamente
.
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