05.Um raio de sol, passando através de uma pequena fenda, numa folha, localizada na ponta de uma árvore alta, projeta na terra uma mancha em forma de uma elipse. Os eixos maior e menor da elipse são iguais a a=12 cm e b=10 cm. Qual é a altura H da árvore? As medidas angulares do disco solar sảo: beta=1 / 108 rad. Considere sen theta=tg theta=theta.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema fala sobre como a luz do sol passa por uma fenda na ponta de uma árvore alta e forma uma mancha elíptica no chão. A gente sabe que o eixo maior da elipse tem 12 cm e o menor tem 10 cm. Também nos dizem que o ângulo aparente do sol é β = 1/108 radianos. Nosso objetivo é descobrir a altura $ H $ da árvore. Para resolver isso, vamos usar um pouco de geometria e trigonometria, especialmente as relações entre os triângulos formados pela luz do sol passando pela fenda até o chão.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como a luz do sol forma essa elipse. A fenda na árvore atua como uma pequena abertura que projeta a imagem do sol no chão. Como o sol tem um tamanho angular β, a luz que passa pela fenda se espalha formando uma elipse devido ao ângulo de visão.

Passo 3

Sabemos que os eixos da elipse estão relacionados com a altura da árvore $ H $ e o ângulo β. O eixo maior $ a = 12 $ cm está alinhado com a direção do sol, enquanto o eixo menor $ b = 10 $ cm está perpendicular a ela.

Passo 4

Vamos relacionar os eixos da elipse com a altura da árvore usando a seguinte relação trigonométrica:
a = H cdot beta
Aqui, $ a $ é o eixo maior da elipse, $ H $ é a altura que queremos encontrar, e $ \beta $ é o ângulo aparente do sol.

Passo 5

Rearranjando a equação para encontrar $ H $:
H
Substituindo os valores que temos:
H = abeta

Passo 6

Convertendo centímetros para metros para facilitar a compreensão:
1296, cm = 12,96, m

Resposta

A altura da árvore é de 12,96 metros.

Exercícios relacionados