Se
e
, mostre que:
(b)
tem derivada direcional na origem apenas nas direções
e
.
(b)
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função
onde
. Queremos mostrar que essa função tem derivada direcional na origem apenas nas direções dos eixos
e
(ou seja, nas direções dos vetores
e
). Para resolver isso, vamos precisar entender o que é derivada direcional e como calcular.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é derivada direcional. A derivada direcional de uma função
em um ponto
na direção de um vetor
é dada por:
No nosso caso, queremos calcular essa derivada na origem
.
Passo 3
Vamos calcular a derivada direcional na origem para um vetor
. Substituindo na fórmula:
Como
, fica:
Passo 4
Simplificando a expressão:
Então, a derivada direcional fica:
Passo 5
Agora, analisamos o limite:
Como
, então
. Isso significa que
tende ao infinito quando
tende a zero. Portanto, a derivada direcional existe apenas se
, ou seja, se
ou
.
Passo 6
Isso quer dizer que a derivada direcional na origem existe somente nas direções onde
ou
, que correspondem às direções dos vetores
(eixo
) e
(eixo
).
Resposta
A função
tem derivada direcional na origem apenas nas direções dos eixos
e
, ou seja, nas direções dos vetores
e
.
Exercícios relacionados
Ache:
Seja
o vetor posição de um ponto
do
e represente por
sua norma. Se
é uma função real derivável, mostre que:
Usando essa fórmula, calcule
e
Ache: Deduza uma fórmula para
(
fatores)
Calcule a diferencial das funções seguintes:
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