Se 0 < alfa < 1/2 e f(x, y) = |x y|^alpha, mostre que:
(b) f tem derivada direcional na origem apenas nas direções i e vec(j).

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função onde . Queremos mostrar que essa função tem derivada direcional na origem apenas nas direções dos eixos e (ou seja, nas direções dos vetores e ). Para resolver isso, vamos precisar entender o que é derivada direcional e como calcular.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é derivada direcional. A derivada direcional de uma função em um ponto na direção de um vetor é dada por:
No nosso caso, queremos calcular essa derivada na origem .

Passo 3

Vamos calcular a derivada direcional na origem para um vetor . Substituindo na fórmula:
Como , fica:

Passo 4

Simplificando a expressão:
Então, a derivada direcional fica:

Passo 5

Agora, analisamos o limite:
Como , então . Isso significa que tende ao infinito quando tende a zero. Portanto, a derivada direcional existe apenas se , ou seja, se ou .

Passo 6

Isso quer dizer que a derivada direcional na origem existe somente nas direções onde ou , que correspondem às direções dos vetores (eixo ) e (eixo ).

Resposta

A função tem derivada direcional na origem apenas nas direções dos eixos e , ou seja, nas direções dos vetores e .

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