Seja r = x i + y j + z k o vetor posição de um ponto P(x, y, z) do R^3 e represente por r sua norma. Se f(t) é uma função real derivável, mostre que:
nabla f(r) = f'(r) * r/r
Usando essa fórmula, calcule nabla(r), nabla(1 / r) e nabla(ln r)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que está sendo pedido. Temos um vetor posição que representa a posição de um ponto P(x, y, z) no espaço tridimensional R^3. A norma desse vetor é representada por r. O exercício nos pede para mostrar que o gradiente de uma função é dado por:
Além disso, precisamos usar essa fórmula para calcular os gradientes de r, e . Para resolver isso, vamos precisar entender o que é o gradiente, como calcular a norma de um vetor e como aplicar derivadas a funções de uma variável.

Passo 2

Vamos começar lembrando o que é o gradiente. O gradiente de uma função escalar f(x, y, z), denotado por nabla f, é um vetor que aponta na direção de maior crescimento da função e tem magnitude igual à taxa de variação máxima da função. Matematicamente, é definido como:
No nosso caso, a função f depende apenas da norma r do vetor r, ou seja, .

Passo 3

Vamos calcular a derivada de em relação a x, y e z. Pela regra da cadeia, temos:
E similarmente para y e z. Precisamos, então, calcular , e .

Passo 4

Sabemos que a norma r do vetor r é dada por:
Então, calculando as derivadas parciais:

Passo 5

Substituindo essas derivadas na expressão do gradiente:
Isso pode ser escrito de forma compacta como:

Passo 6

Agora, vamos usar essa fórmula para calcular os gradientes de r, e .
a) Cálculo de :
Aqui, , então .
Aplicando a fórmula:
b) Cálculo de :
Aqui, , então .
Aplicando a fórmula:
c) Cálculo de nabla(ln r):
Aqui, , então .
Aplicando a fórmula:

Resposta

Os gradientes são:

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