Seja
o vetor posição de um ponto
do
e represente por
sua norma. Se
é uma função real derivável, mostre que:
Usando essa fórmula, calcule
e
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que está sendo pedido. Temos um vetor posição
que representa a posição de um ponto
no espaço tridimensional
. A norma desse vetor é representada por
. O exercício nos pede para mostrar que o gradiente de uma função
é dado por:
Além disso, precisamos usar essa fórmula para calcular os gradientes de
,
e
. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é o gradiente, como calcular a norma de um vetor e como aplicar derivadas a funções de uma variável.
Passo 2
Vamos começar lembrando o que é o gradiente. O gradiente de uma função escalar
, denotado por
, é um vetor que aponta na direção de maior crescimento da função e tem magnitude igual à taxa de variação máxima da função. Matematicamente, é definido como:
No nosso caso, a função
depende apenas da norma
do vetor
, ou seja,
.
Passo 3
Vamos calcular a derivada de
em relação a
,
e
. Pela regra da cadeia, temos:
E similarmente para
e
. Precisamos, então, calcular
,
e
.
Passo 4
Sabemos que a norma
do vetor
é dada por:
Então, calculando as derivadas parciais:
Passo 5
Substituindo essas derivadas na expressão do gradiente:
Isso pode ser escrito de forma compacta como:
Passo 6
Agora, vamos usar essa fórmula para calcular os gradientes de
,
e
.
a) Cálculo de
:
Aqui,
, então
.
Aplicando a fórmula:
b) Cálculo de
:
Aqui,
, então
.
Aplicando a fórmula:
c) Cálculo de
:
Aqui,
, então
.
Aplicando a fórmula:
Resposta
Os gradientes são:
Exercícios relacionados
Calcule:
;
Ache:
Ache:
Se
e
, mostre que:
(b) tem derivada direcional na origem apenas nas direções
e
.
(b)