Seja o vetor posição de um ponto do e represente por sua norma. Se é uma função real derivável, mostre que:
Usando essa fórmula, calcule e

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que está sendo pedido. Temos um vetor posição que representa a posição de um ponto no espaço tridimensional . A norma desse vetor é representada por . O exercício nos pede para mostrar que o gradiente de uma função é dado por:
Além disso, precisamos usar essa fórmula para calcular os gradientes de , e . Para resolver isso, vamos precisar entender o que é o gradiente, como calcular a norma de um vetor e como aplicar derivadas a funções de uma variável.

Passo 2

Vamos começar lembrando o que é o gradiente. O gradiente de uma função escalar , denotado por , é um vetor que aponta na direção de maior crescimento da função e tem magnitude igual à taxa de variação máxima da função. Matematicamente, é definido como:
No nosso caso, a função depende apenas da norma do vetor , ou seja, .

Passo 3

Vamos calcular a derivada de em relação a , e . Pela regra da cadeia, temos:
E similarmente para e . Precisamos, então, calcular , e .

Passo 4

Sabemos que a norma do vetor é dada por:
Então, calculando as derivadas parciais:

Passo 5

Substituindo essas derivadas na expressão do gradiente:
Isso pode ser escrito de forma compacta como:

Passo 6

Agora, vamos usar essa fórmula para calcular os gradientes de , e .
a) Cálculo de :
Aqui, , então .
Aplicando a fórmula:
b) Cálculo de :
Aqui, , então .
Aplicando a fórmula:
c) Cálculo de :
Aqui, , então .
Aplicando a fórmula:

Resposta

Os gradientes são:

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Calcule: ;
Ache:
Ache:
Se e , mostre que:
(b) tem derivada direcional na origem apenas nas direções e .