Beleza, vamos lá! Temos uma função definida por partes que provavelmente representa uma função de densidade de probabilidade . O exercício está dividido em quatro partes: determinar o valor de , calcular a probabilidade entre 1 e 2, encontrar os quantis e, por fim, calcular a esperança e a variância . Para resolver tudo isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo de integrais e propriedades de funções de densidade.
Passo 2
Parte (a): Determinar o valor de .
Uma função de densidade de probabilidade deve satisfazer que a integral dela sobre todo o espaço seja igual a 1. Então, vamos integrar de 0 a 3 e igualar a 1:
Passo 3
Vamos calcular essa integral:
Avaliado de 0 a 3:
Passo 4
Igualando a integral a 1:
9c4 = 1 Rightarrow c = 49
Passo 5
Parte (b): Calcular P(1 < X < 2) = integral1^2 c x2 , dx = integral1^2 4 x18 , dx = 29 integral1^2 x , dx .
Agora que sabemos que , vamos calcular a probabilidade de estar entre 1 e 2: