f(x)=lc c x2, & 0á
(a) Determine o valor de c.
(b) Calcule a P(1.
© Encontre uma expressão para os quantil p. Calcule os quartis.
(d) Calcule E(X) e Var(X).

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma função definida por partes que provavelmente representa uma função de densidade de probabilidade . O exercício está dividido em quatro partes: determinar o valor de , calcular a probabilidade entre 1 e 2, encontrar os quantis e, por fim, calcular a esperança e a variância . Para resolver tudo isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo de integrais e propriedades de funções de densidade.

Passo 2

Parte (a): Determinar o valor de integral0^3 c x2 , dx = 1 .
Uma função de densidade de probabilidade deve satisfazer que a integral dela sobre todo o espaço seja igual a 1. Então, vamos integrar de 0 a 3 e igualar a 1:

Passo 3

Vamos calcular essa integral:
integral c x2 , dx = c2 cdot x^22 = c x^24
Avaliado de 0 a 3:
c x^24 |0^3 = c (3)^24 - c (0)^24 = 9c4

Passo 4

Igualando a integral a 1:
9c4 = 1 Rightarrow c = 49

Passo 5

Parte (b): Calcular P(1 < X < 2) = integral1^2 c x2 , dx = integral1^2 4 x18 , dx = 29 integral1^2 x , dx .
Agora que sabemos que , vamos calcular a probabilidade de estar entre 1 e 2:

Passo 6

Calculando a integral:
integral x , dx = x^22
Avaliado de 1 a 2:
29 ( (2)^22 - (1)^22 ) = 29 ( 42 - 12 ) = 29 cdot 32 = 39 = 13

Passo 7

Parte ©: Encontrar uma expressão para os quantis F(x) = integral0^x 4 t18 , dt = 29 cdot t^22 = t^29 e calcular os quartis.
Os quantis são valores xp^29 = p Rightarrow xp = 3 raizp tais que x0.25 = 3 raiz0.25 = 3 cdot 0.5 = 1.5 . Vamos primeiro encontrar a expressão geral.
A função de distribuição acumulada (CDF) é:
x0.75 = 3 raiz0.75 = 3 cdot raiz34 = 3 cdot raiz32 approx 2.598
Queremos :
Agora, para os quartis, temos e :
Para :
Para :

Passo 8

Parte (d): Calcular E(X) = integral0^3 x cdot f(x) , dx = integral0^3 x cdot 4 x18 , dx = 29 integral0^3 x^2 , dx e .
A esperança é dada por:

Passo 9

Calculando a integral:
integral x^2 , dx = x^33
Avaliado de 0 a 3:
29 ( 273 - 0 ) = 29 cdot 9 = 2
Então, .

Passo 10

Para a variância, primeiro calculamos E(X^2) = integral0^3 x^2 cdot f(x) , dx = integral0^3 x^2 cdot 4 x18 , dx = 29 integral0^3 x^3 , dx :

Passo 11

Calculando a integral:
integral x^3 , dx = x^44
Avaliado de 0 a 3:
29 ( 814 - 0 ) = 29 cdot 814 = 16236 = 4.5
Então, Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = 4.5 - (2)^2 = 4.5 - 4 = 0.5 .
Agora, a variância é:

Resposta

(a)
(b)
© A expressão para o quantil é . Os quartis são aproximadamente 1,5 e 2,598.
(d) e

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