1. Oito dados são lançados simultaneamente. Seja X o número de vezes que ocorre a face 3 , calcule:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala que lançamos oito dados ao mesmo tempo e queremos saber quantas vezes aparece a face 3. Pra resolver isso, vamos usar o conteúdo de Probabilidade, mais especificamente, a Distribuição Binomial. A gente vai precisar entender como calcular a probabilidade de um evento específico ocorrer um certo número de vezes em várias tentativas independentes.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a Distribuição Binomial. Ela é usada quando temos:
  • Um número fixo de tentativas (no caso, 8 lançamentos de dados).
  • Cada tentativa tem dois resultados possíveis: sucesso ou fracasso (a face 3 aparece ou não).
  • As tentativas são independentes.
  • A probabilidade de sucesso é a mesma em cada tentativa.

Passo 3

No nosso problema:
  • Número de tentativas (n): 8 lançamentos.
  • Probabilidade de sucesso §: A chance de dar a face 3 em um dado é 1 em 6, ou seja, .
  • Número de sucessos (k): Queremos calcular para diferentes valores de (quantas vezes a face 3 aparece).

Passo 4

A fórmula da Distribuição Binomial é:
P(X = k) = binomnk times p^k times (1 - p)^n - k
Onde:
  • é o coeficiente binomial, que calcula de quantas maneiras podemos ter sucessos em tentativas.
  • é a probabilidade de ter exatamente sucessos.
  • é a probabilidade dos outros serem fracassos.

Passo 5

Vamos calcular para um exemplo, digamos, P(X = 2) = binom82 times (16)^2 times (56)^6 (a face 3 aparece exatamente 2 vezes):
binom82 = 8!2!(8-2)! = 8 times 72 times 1 = 28
Primeiro, calculamos o coeficiente binomial:
P(X = 2) = 28 times (16)^2 times (56)^6
Então:

Resposta

A probabilidade de ocorrer a face 3 exatamente P(X = k) = binom8k times (16)^k times (56)^8 - k vezes em oito lançamentos é dada por:

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