- Oito dados são lançados simultaneamente. Seja
o número de vezes que ocorre a face 3 , calcule:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala que lançamos oito dados ao mesmo tempo e queremos saber quantas vezes aparece a face 3. Pra resolver isso, vamos usar o conteúdo de Probabilidade, mais especificamente, a Distribuição Binomial. A gente vai precisar entender como calcular a probabilidade de um evento específico ocorrer um certo número de vezes em várias tentativas independentes.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a Distribuição Binomial. Ela é usada quando temos:
- Um número fixo de tentativas (no caso, 8 lançamentos de dados).
- Cada tentativa tem dois resultados possíveis: sucesso ou fracasso (a face 3 aparece ou não).
- As tentativas são independentes.
- A probabilidade de sucesso é a mesma em cada tentativa.
Passo 3
No nosso problema:
- Número de tentativas (n): 8 lançamentos.
- Probabilidade de sucesso §: A chance de dar a face 3 em um dado é 1 em 6, ou seja,
. - Número de sucessos (k): Queremos calcular para diferentes valores de
(quantas vezes a face 3 aparece).
Passo 4
A fórmula da Distribuição Binomial é:
Onde:
-
é o coeficiente binomial, que calcula de quantas maneiras podemos ter sucessos em tentativas. -
é a probabilidade de ter exatamente sucessos. -
é a probabilidade dos outros serem fracassos.
Passo 5
Vamos calcular para um exemplo, digamos,
(a face 3 aparece exatamente 2 vezes):
Primeiro, calculamos o coeficiente binomial:
Então:
Resposta
A probabilidade de ocorrer a face 3 exatamente
vezes em oito lançamentos é dada por:
Exercícios relacionados
Número de crianças | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 ou mais |
---|---|---|---|---|---|
Proporção de famílias | 0,42 | 0,24 | 0,19 | 0,10 | 0,05 |
Seja
a variável aleatória número de crianças, com distribuição de probabilidade acima.
(a) Qual a probabilidade de uma família afro-americana escolhida ao acaso ter no máximo um filho?
(b) Qual a possibilidade de ter mais de 3 filhos?
© Qual o número esperado de filhos numa família afro-americana?
(d) Calcule o desvio padrão da variável .
(e) Encontre os quartis do número de filhos.
(a) Qual a probabilidade de uma família afro-americana escolhida ao acaso ter no máximo um filho?
(b) Qual a possibilidade de ter mais de 3 filhos?
© Qual o número esperado de filhos numa família afro-americana?
(d) Calcule o desvio padrão da variável
(e) Encontre os quartis do número de filhos.
(a) Se tiver 10 cobaias, qual a probabilidade de ter pelo menos duas experiências bem sucedidas?
(b) Quantas cobaias são necessárias para que o número esperado de sucessos seja 24? Justifique a resposta.
© Quantas cobaias serão necessárias para garantir que a probabilidade de obter pelo menos uma experiência com sucesso não seja inferior a 0,95 ?
(d) Quantas cobaias espera ter que usar até obter uma experiência com sucesso?
(e) Qual a probabilidade de ter que realizar 3 experiências até obter uma com sucesso?
(f) Quantas experiências espera ter que realizar até obter 10 bem-sucedidas? (binomial negativa)
(g) Calcule a probabilidade de só necessitar realizar 11 experiências até obter 10 bem sucedidas (binomial negativa)
(b) Quantas cobaias são necessárias para que o número esperado de sucessos seja 24? Justifique a resposta.
© Quantas cobaias serão necessárias para garantir que a probabilidade de obter pelo menos uma experiência com sucesso não seja inferior a 0,95 ?
(d) Quantas cobaias espera ter que usar até obter uma experiência com sucesso?
(e) Qual a probabilidade de ter que realizar 3 experiências até obter uma com sucesso?
(f) Quantas experiências espera ter que realizar até obter 10 bem-sucedidas? (binomial negativa)
(g) Calcule a probabilidade de só necessitar realizar 11 experiências até obter 10 bem sucedidas (binomial negativa)
- Sejam
variáveis aleatórias independentes, com distribuição de Bernoulli, com parâmetros .
Seja, prove que: