Número de crianças 0 1 2 3 4 ou mais
Proporção de famílias 0,42 0,24 0,19 0,10 0,05
Seja a variável aleatória número de crianças, com distribuição de probabilidade acima.
(a) Qual a probabilidade de uma família afro-americana escolhida ao acaso ter no máximo um filho?
(b) Qual a possibilidade de ter mais de 3 filhos?
© Qual o número esperado de filhos numa família afro-americana?
(d) Calcule o desvio padrão da variável .
(e) Encontre os quartis do número de filhos.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma tabela que mostra a proporção de famílias afro-americanas de acordo com o número de crianças que elas têm. A variável aleatória representa o número de crianças em uma família, e queremos calcular algumas probabilidades e estatísticas relacionadas a essa distribuição. Para resolvermos isso, vamos precisar entender de distribuição de probabilidade, valor esperado, desvio padrão e quartis.

Passo 2

(a) Qual a probabilidade de uma família afro-americana escolhida ao acaso ter no máximo um filho?
Para encontrar a probabilidade de ter no máximo um filho, ou seja, , somamos as proporções de famílias com 0 e 1 criança.

Passo 3

(b) Qual a possibilidade de ter mais de 3 filhos?
Queremos calcular . Olhando na tabela, a proporção de famílias com 4 ou mais filhos é 0,05. Portanto,

Passo 4

© Qual o número esperado de filhos numa família afro-americana?
O valor esperado é dado pela soma de cada número de filhos multiplicado pela sua respectiva probabilidade.

Passo 5

(d) Calcule o desvio padrão da variável .
Primeiro, calculamos a variância , que é .
Calculando :
Agora, a variância:
O desvio padrão é a raiz quadrada da variância:

Passo 6

(e) Encontre os quartis do número de filhos.
Os quartis dividem a distribuição em quatro partes iguais. Vamos calcular o primeiro quartil ( ), a mediana ( ) e o terceiro quartil ( ).
Primeiro, somamos as proporções cumulativas:
  • : 0,42
  • : 0,42 + 0,24 = 0,66
  • : 0,66 + 0,19 = 0,85
  • : 0,85 + 0,10 = 0,95
  • : 0,95 + 0,05 = 1,00
Primeiro Quartil ( ): É o valor de onde a probabilidade acumulada atinge 0,25. Observando a tabela, 0,42 já é maior que 0,25. Então, .
Mediana ( ): É o valor de onde a probabilidade acumulada atinge 0,50. Novamente, 0,42 < 0,50 e 0,66 ≥ 0,50. Assim, .
Terceiro Quartil ( ): É o valor de onde a probabilidade acumulada atinge 0,75. Aqui, 0,66 < 0,75 e 0,85 ≥ 0,75. Então, .

Resposta

(a) A probabilidade de uma família ter no máximo um filho é 0,66.
(b) A probabilidade de uma família ter mais de 3 filhos é 0,05.
© O número esperado de filhos numa família é 1,12.
(d) O desvio padrão da variável é aproximadamente 1,20.
(e) Os quartis do número de filhos são:
  • Primeiro Quartil ( ): 0
  • Mediana ( ): 1
  • Terceiro Quartil ( ): 2

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