Número de crianças 0 1 2 3 4 ou mais
Proporção de famílias 0,42 0,24 0,19 0,10 0,05
Seja X a variável aleatória número de crianças, com distribuição de probabilidade acima.
(a) Qual a probabilidade de uma família afro-americana escolhida ao acaso ter no máximo um filho?
(b) Qual a possibilidade de ter mais de 3 filhos?
© Qual o número esperado de filhos numa família afro-americana?
(d) Calcule o desvio padrão da variável X.
(e) Encontre os quartis do número de filhos.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma tabela que mostra a proporção de famílias afro-americanas de acordo com o número de crianças que elas têm. A variável aleatória X representa o número de crianças em uma família, e queremos calcular algumas probabilidades e estatísticas relacionadas a essa distribuição. Para resolvermos isso, vamos precisar entender de distribuição de probabilidade, valor esperado, desvio padrão e quartis.

Passo 2

(a) Qual a probabilidade de uma família afro-americana escolhida ao acaso ter no máximo um filho?
Para encontrar a probabilidade de ter no máximo um filho, ou seja, P(X <= 1), somamos as proporções de famílias com 0 e 1 criança.
P(X <= 1) = P(X=0) + P(X=1) = 0,42 + 0,24 = 0,66

Passo 3

(b) Qual a possibilidade de ter mais de 3 filhos?
Queremos calcular P(X > 3). Olhando na tabela, a proporção de famílias com 4 ou mais filhos é 0,05. Portanto,
P(X > 3) = P(X >= 4) = 0,05

Passo 4

© Qual o número esperado de filhos numa família afro-americana?
O valor esperado E(X) é dado pela soma de cada número de filhos multiplicado pela sua respectiva probabilidade.
E(X) = 0 times 0,42 + 1 times 0,24 + 2 times 0,19 + 3 times 0,10 + 4 times 0,05
E(X) = 0 + 0,24 + 0,38 + 0,30 + 0,20 = 1,12

Passo 5

(d) Calcule o desvio padrão da variável X.
Primeiro, calculamos a variância sigma^2, que é E(X^2) - [E(X)]^2.
Calculando E(X^2):
E(X^2) = 0^2 times 0,42 + 1^2 times 0,24 + 2^2 times 0,19 + 3^2 times 0,10 + 4^2 times 0,05
E(X^2) = 0 + 0,24 + 0,76 + 0,90 + 0,80 = 2,70
Agora, a variância:
sigma^2 = E(X^2) - [E(X)]^2 = 2,70 - (1,12)^2 = 2,70 - 1,2544 = 1,4456
O desvio padrão sigma é a raiz quadrada da variância:
sigma = raiz1,4456 approx 1,2023

Passo 6

(e) Encontre os quartis do número de filhos.
Os quartis dividem a distribuição em quatro partes iguais. Vamos calcular o primeiro quartil ( Q1), a mediana ( Q2) e o terceiro quartil ( Q3).
Primeiro, somamos as proporções cumulativas:
  • X=0: 0,42
  • X=1: 0,42 + 0,24 = 0,66
  • X=2: 0,66 + 0,19 = 0,85
  • X=3: 0,85 + 0,10 = 0,95
  • X >= 4: 0,95 + 0,05 = 1,00
Primeiro Quartil ( Q1): É o valor de X onde a probabilidade acumulada atinge 0,25. Observando a tabela, 0,42 já é maior que 0,25. Então, Q1 = 0.
Mediana ( Q2): É o valor de X onde a probabilidade acumulada atinge 0,50. Novamente, 0,42 < 0,50 e 0,66 ≥ 0,50. Assim, Q2 = 1.
Terceiro Quartil ( Q3): É o valor de X onde a probabilidade acumulada atinge 0,75. Aqui, 0,66 < 0,75 e 0,85 ≥ 0,75. Então, Q3 = 2.

Resposta

(a) A probabilidade de uma família ter no máximo um filho é 0,66.
(b) A probabilidade de uma família ter mais de 3 filhos é 0,05.
© O número esperado de filhos numa família é 1,12.
(d) O desvio padrão da variável X é aproximadamente 1,20.
(e) Os quartis do número de filhos são:
  • Primeiro Quartil ( Q1): 0
  • Mediana ( Q2): 1
  • Terceiro Quartil ( Q3): 2

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