X=x 0 1 2 3
f(x) 0,1 0,2 k 0,1
(a) Determine o valor de k.
(b) Calcule P(1.
© Qual a probabilidade de um cidadão fazer pelo menos 2 compras por semana?
(d) Calcule a
(e) Em média quantas compras são feitas por cidadão, por semana?
(f) Determine E(2 X+4).
(g) Determine Var(X) e Var(2 X+4).
(h) Determine o número de compras que precede o 30 % de todos os valores do número de compras?

Passo 1

O enunciado nos apresenta uma função de probabilidade para a variável aleatória |c|c|c|c|c| hline X = x & 0 & 1 & 2 & 3 hline f(x) & 0,1 & 0,2 & k & 0,1 hline :
0,1 + 0,2 + k + 0,1 = 1
Sabemos que, para uma função de probabilidade válida, a soma de todas as probabilidades deve ser igual a 1. Então, temos:
0,4 + k = 1
Somando os valores conhecidos:
k = 1 - 0,4 = 0,6
Isolando :

Passo 2

Queremos encontrar a probabilidade de 1 < X < 3 Rightarrow X = 2 estar entre 1 e 3, ou seja, P(1 < X < 3) = f(2) = k = 0,6 . Observando a tabela:
Portanto:

Passo 3

“Fazer pelo menos 2 compras” significa que P(X >= 2) = P(X = 2) + P(X = 3) = k + 0,1 = 0,6 + 0,1 = 0,7 é igual a 2 ou 3. Então, calculamos:

Passo 4

A média (ou valor esperado) E(X) = sum x cdot f(x) = 0 cdot 0,1 + 1 cdot 0,2 + 2 cdot 0,6 + 3 cdot 0,1 é calculada somando o produto de cada valor de 0 + 0,2 + 1,2 + 0,3 = 1,7 pela sua respectiva probabilidade:
E(X) = 1,7
Calculando cada termo:
Então:

Passo 5

Para encontrar o valor esperado de uma expressão linear de E(aX + b) = aE(X) + b , usamos a propriedade:
E(2X + 4) = 2E(X) + 4 = 2 cdot 1,7 + 4 = 3,4 + 4 = 7,4
Aplicando para :

Passo 6

Primeiro, calculamos a variância de Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 :
E(X^2) = sum x^2 cdot f(x) = 0^2 cdot 0,1 + 1^2 cdot 0,2 + 2^2 cdot 0,6 + 3^2 cdot 0,1 = 0 + 0,2 + 2,4 + 0,9 = 3,5
Calculamos Var(X) = 3,5 - (1,7)^2 = 3,5 - 2,89 = 0,61 :
Var(aX + b) = a^2 Var(X)
Então:
Var(2X + 4) = 2^2 cdot 0,61 = 4 cdot 0,61 = 2,44
Para , usamos a propriedade da variância para transformações lineares:
Aplicando para :

Passo 7

Queremos encontrar o percentil de 30%, ou seja, o menor valor de |c|c| hline X & P(X <= x) hline 0 & 0,1 hline 1 & 0,1 + 0,2 = 0,3 hline 2 & 0,3 + 0,6 = 0,9 hline 3 & 0,9 + 0,1 = 1,0 hline tal que a probabilidade acumulada seja pelo menos 30%.
Vamos construir a distribuição acumulada:
P(X <= 1) = 0,3
Buscamos o menor onde . Observando a tabela, vemos que para :
Portanto, o número de compras que precede 30% dos valores é 1.

Resposta

(a)
(b)
© A probabilidade de fazer pelo menos 2 compras por semana é
(e) Em média, são feitas compras por cidadão, por semana
(f)
(g) e
(h) O número de compras que precede 30% de todos os valores é

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