1. Sejam X1, X2, ldots, Xn, n variáveis aleatórias independentes, com distribuição de Bernoulli, com parâmetros p.
    Seja X=X1+X2+ldots+Xm, prove que:

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão tá pedindo. A gente tem n variáveis aleatórias independentes, cada uma seguindo uma distribuição de Bernoulli com parâmetro p. Isso significa que cada variável Xi pode ser 1 (com probabilidade p) ou 0 (com probabilidade 1-p). A gente precisa mostrar que a soma dessas variáveis, X = X1 + X2 + ldots + Xm, também segue uma distribuição específica. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma distribuição binomial e como somar variáveis de Bernoulli.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma distribuição Bernoulli. É uma distribuição que tem apenas dois possíveis resultados: sucesso (1) com probabilidade p e fracasso (0) com probabilidade 1-p. Quando a gente soma m variáveis independentes de Bernoulli, queremos ver qual é a distribuição da soma X.

Passo 3

A distribuição binomial é exatamente a soma de várias variáveis de Bernoulli independentes. Uma variável aleatória X segue uma distribuição binomial com parâmetros m (número de tentativas) e p (probabilidade de sucesso em cada tentativa) se ela representa o número de sucessos em m tentativas.

Passo 4

Vamos calcular a probabilidade de X = k, onde k é o número de sucessos. Como as variáveis são independentes, a probabilidade de obter exatamente k sucessos em m tentativas é dada pela combinação de m elementos tomados k a k multiplicada pela probabilidade de sucesso elevada a k e pela probabilidade de fracasso elevada a m - k. Matematicamente, isso é:
P(X = k) = binommk p^k (1-p)^m-k

Passo 5

Essa é a fórmula da distribuição binomial. Portanto, mostramos que a soma das variáveis X1, X2, ldots, Xm, que são independentes e seguem Bernoulli( p), resulta em uma variável X que segue a distribuição binomial com parâmetros m e p.

Resposta

A soma X = X1 + X2 + ldots + Xm segue uma distribuição binomial com parâmetros m e p, ou seja, X sim Binomial(m, p).

Exercícios relacionados