1. Sejam variáveis aleatórias independentes, com distribuição de Bernoulli, com parâmetros .
    Seja , prove que:

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão tá pedindo. A gente tem variáveis aleatórias independentes, cada uma seguindo uma distribuição de Bernoulli com parâmetro . Isso significa que cada variável pode ser 1 (com probabilidade ) ou 0 (com probabilidade ). A gente precisa mostrar que a soma dessas variáveis, , também segue uma distribuição específica. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma distribuição binomial e como somar variáveis de Bernoulli.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma distribuição Bernoulli. É uma distribuição que tem apenas dois possíveis resultados: sucesso (1) com probabilidade e fracasso (0) com probabilidade . Quando a gente soma variáveis independentes de Bernoulli, queremos ver qual é a distribuição da soma .

Passo 3

A distribuição binomial é exatamente a soma de várias variáveis de Bernoulli independentes. Uma variável aleatória segue uma distribuição binomial com parâmetros (número de tentativas) e (probabilidade de sucesso em cada tentativa) se ela representa o número de sucessos em tentativas.

Passo 4

Vamos calcular a probabilidade de , onde é o número de sucessos. Como as variáveis são independentes, a probabilidade de obter exatamente sucessos em tentativas é dada pela combinação de elementos tomados a multiplicada pela probabilidade de sucesso elevada a e pela probabilidade de fracasso elevada a . Matematicamente, isso é:

Passo 5

Essa é a fórmula da distribuição binomial. Portanto, mostramos que a soma das variáveis , que são independentes e seguem Bernoulli( ), resulta em uma variável que segue a distribuição binomial com parâmetros e .

Resposta

A soma segue uma distribuição binomial com parâmetros e , ou seja, .

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  1. Oito dados são lançados simultaneamente. Seja o número de vezes que ocorre a face 3 , calcule:
0 1 2 3
0,1 0,2 k 0,1
(a) Determine o valor de .
(b) Calcule .
© Qual a probabilidade de um cidadão fazer pelo menos 2 compras por semana?
(d) Calcule a
(e) Em média quantas compras são feitas por cidadão, por semana?
(f) Determine .
(g) Determine e .
(h) Determine o número de compras que precede o de todos os valores do número de compras?
(a) Defina a função de probabilidade da variável aleatória que representa o número de cidadãos que concordam com a criação do espaço verde, em inquiridos.
(b) Calcule a probabilidade de:
i) Nenhum concordar.
ii Pelo menos 2 concordarem.
iii Entre 7 a 9 concordarem.
© Calcule o valor esperado e a variância do número de cidadãos que concordam com a criação do espaço verde.
(d) Encontre o quantil 0,2 do número de cidadãos.