- Sejam
variáveis aleatórias independentes, com distribuição de Bernoulli, com parâmetros
.
Seja
, prove que:
Seja
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a questão tá pedindo. A gente tem
variáveis aleatórias independentes, cada uma seguindo uma distribuição de Bernoulli com parâmetro
. Isso significa que cada variável
pode ser 1 (com probabilidade
) ou 0 (com probabilidade
). A gente precisa mostrar que a soma dessas variáveis,
, também segue uma distribuição específica. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma distribuição binomial e como somar variáveis de Bernoulli.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma distribuição Bernoulli. É uma distribuição que tem apenas dois possíveis resultados: sucesso (1) com probabilidade
e fracasso (0) com probabilidade
. Quando a gente soma
variáveis independentes de Bernoulli, queremos ver qual é a distribuição da soma
.
Passo 3
A distribuição binomial é exatamente a soma de várias variáveis de Bernoulli independentes. Uma variável aleatória
segue uma distribuição binomial com parâmetros
(número de tentativas) e
(probabilidade de sucesso em cada tentativa) se ela representa o número de sucessos em
tentativas.
Passo 4
Vamos calcular a probabilidade de
, onde
é o número de sucessos. Como as variáveis são independentes, a probabilidade de obter exatamente
sucessos em
tentativas é dada pela combinação de
elementos tomados
a
multiplicada pela probabilidade de sucesso elevada a
e pela probabilidade de fracasso elevada a
. Matematicamente, isso é:
Passo 5
Essa é a fórmula da distribuição binomial. Portanto, mostramos que a soma das variáveis
, que são independentes e seguem Bernoulli(
), resulta em uma variável
que segue a distribuição binomial com parâmetros
e
.
Resposta
A soma
segue uma distribuição binomial com parâmetros
e
, ou seja,
.