- Sejam
variáveis aleatórias independentes, com distribuição de Bernoulli, com parâmetros
.
Seja
, prove que:
Seja
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a questão tá pedindo. A gente tem
variáveis aleatórias independentes, cada uma seguindo uma distribuição de Bernoulli com parâmetro
. Isso significa que cada variável
pode ser 1 (com probabilidade
) ou 0 (com probabilidade
). A gente precisa mostrar que a soma dessas variáveis,
, também segue uma distribuição específica. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma distribuição binomial e como somar variáveis de Bernoulli.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma distribuição Bernoulli. É uma distribuição que tem apenas dois possíveis resultados: sucesso (1) com probabilidade
e fracasso (0) com probabilidade
. Quando a gente soma
variáveis independentes de Bernoulli, queremos ver qual é a distribuição da soma
.
Passo 3
A distribuição binomial é exatamente a soma de várias variáveis de Bernoulli independentes. Uma variável aleatória
segue uma distribuição binomial com parâmetros
(número de tentativas) e
(probabilidade de sucesso em cada tentativa) se ela representa o número de sucessos em
tentativas.
Passo 4
Vamos calcular a probabilidade de
, onde
é o número de sucessos. Como as variáveis são independentes, a probabilidade de obter exatamente
sucessos em
tentativas é dada pela combinação de
elementos tomados
a
multiplicada pela probabilidade de sucesso elevada a
e pela probabilidade de fracasso elevada a
. Matematicamente, isso é:
Passo 5
Essa é a fórmula da distribuição binomial. Portanto, mostramos que a soma das variáveis
, que são independentes e seguem Bernoulli(
), resulta em uma variável
que segue a distribuição binomial com parâmetros
e
.
Resposta
A soma
segue uma distribuição binomial com parâmetros
e
, ou seja,
.
Exercícios relacionados
- Oito dados são lançados simultaneamente. Seja
o número de vezes que ocorre a face 3 , calcule:
|
0 | 1 | 2 | 3 |
---|---|---|---|---|
|
0,1 | 0,2 | k | 0,1 |
(a) Determine o valor de
.
(b) Calcule .
© Qual a probabilidade de um cidadão fazer pelo menos 2 compras por semana?
(d) Calcule a
(e) Em média quantas compras são feitas por cidadão, por semana?
(f) Determine .
(g) Determine e
.
(h) Determine o número de compras que precede o de todos os valores do número de compras?
(b) Calcule
© Qual a probabilidade de um cidadão fazer pelo menos 2 compras por semana?
(d) Calcule a
(e) Em média quantas compras são feitas por cidadão, por semana?
(f) Determine
(g) Determine
(h) Determine o número de compras que precede o
(a) Defina a função de probabilidade da variável aleatória
que representa o número de cidadãos que concordam com a criação do espaço verde, em
inquiridos.
(b) Calcule a probabilidade de:
i) Nenhum concordar.
ii Pelo menos 2 concordarem.
iii Entre 7 a 9 concordarem.
© Calcule o valor esperado e a variância do número de cidadãos que concordam com a criação do espaço verde.
(d) Encontre o quantil 0,2 do número de cidadãos.
(b) Calcule a probabilidade de:
i) Nenhum concordar.
ii Pelo menos 2 concordarem.
iii Entre 7 a 9 concordarem.
© Calcule o valor esperado e a variância do número de cidadãos que concordam com a criação do espaço verde.
(d) Encontre o quantil 0,2 do número de cidadãos.