[1,0] Para uma energia ligeiramente maior que (e momento angular ), calcule a razão , em que é a frequência das oscilações radiais em torno de e é a frequência de revolução.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos uma energia um pouquinho maior que uma energia de referência e um momento angular . Queremos encontrar a razão entre a frequência das oscilações radiais () em torno de um raio e a frequência de revolução ().
Matéria envolvida: Mecânica clássica, especificamente órbitas e oscilações em potenciais conservativos.
O que precisamos: Entender como pequenas variações em energia afetam as frequências das oscilações radiais e de revolução.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para um movimento circular estável em um potencial central, o raio é tal que a força centrípeta balanceia a força do potencial. Quando a energia varia ligeiramente, o sistema pode oscilar radialmente em torno desse raio estável.
Teoria aplicada: Para pequenas oscilações em torno do equilíbrio, podemos aproximar o potencial e estudar as frequências das oscilações usando expansão em série de Taylor.
Passo 3
Vamos considerar que a energia total é dada pela soma da energia cinética e da energia potencial. Para pequenas variações em torno de , a energia potencial pode ser expandida até o segundo termo:
onde é uma constante relacionada à segunda derivada do potencial em .
Passo 4
A frequência das oscilações radiais está relacionada à constante e à massa efetiva do sistema pela fórmula de uma mola:
onde .
Passo 5
A frequência de revolução é a frequência com que o objeto completa uma volta ao redor do centro. Ela está relacionada à velocidade tangencial e ao raio :
Mas como estamos no equilíbrio, podemos relacionar com o momento angular e pela relação , então:
Substituindo na expressão de :
Passo 6
Agora, queremos encontrar a razão . Vamos expressar em termos de e :
E já temos . Então:
Simplificando:
Passo 7
Para avançar, precisamos relacionar com as propriedades do potencial. Sabemos que para equilíbrio:
E a segunda derivada do potencial é:
Em muitos casos, especialmente para potenciais do tipo , podemos encontrar uma relação específica. Porém, sem detalhes adicionais do potencial, assumimos que é dado ou conhecido.
Passo 8
Finalmente, expressamos a razão em termos das variáveis conhecidas:
Esta é a expressão geral para a razão das frequências solicitadas, considerando uma energia ligeiramente maior que e momento angular .
Resposta
A razão entre a frequência das oscilações radiais e a frequência de revolução é dada por: