[1,2] Para cada afirmação dada a seguir, assinale V, se for verdadeira, ou F, se for falsa. Justifique sua resposta em ambos os casos.
.
Passo 1
Primeiro, vamos resumir o que a questão está pedindo. Estamos avaliando se a seguinte igualdade de derivadas é verdadeira ou falsa:
O conteúdo envolvido aqui é cálculo diferencial, especificamente a regra da cadeia para derivadas. Vamos precisar aplicar essa regra para ver se a igualdade está correta.
Passo 2
Vamos começar calculando a derivada do lado esquerdo da igualdade:
Para derivar uma função composta como
, usamos a regra da cadeia, que diz que
. Aqui,
e
.
Passo 3
Aplicando a regra da cadeia:
Agora, vamos derivar o que está dentro do colchete:
Então, substituindo de volta:
Passo 4
Agora, vamos comparar o que encontramos com o lado direito da igualdade proposta na questão:
Observamos que:
- Do lado esquerdo, temos
- Do lado direito, temos
Claramente, essas duas expressões não são iguais porque uma inclui o termo
que não está presente na outra.
Resposta
F. A igualdade apresentada é falsa porque, ao derivar
usando a regra da cadeia, obtemos
, que é diferente de
.
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, encontre a solução particular determinada pelas condições iniciais dada.