[0,4] Determine a derivada das seguintes funções. Simplifique a expressão obtida, se possível. k(x) = (x^2 + sen(x)) / (3x + 1)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a derivada da função . Isso está dentro do assunto de cálculo diferencial, mais especificamente usando a regra do quociente para derivadas. Para resolver, vamos precisar saber como aplicar essa regra e como derivar funções básicas como e .

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da nossa função que vão entrar na regra do quociente. A função está na forma de uma fração , onde:

Passo 3

A regra do quociente diz que a derivada de é dada por:
Então, precisamos encontrar as derivadas de e .

Passo 4

Vamos derivar e separadamente.
  • Derivada de :
    Aqui usamos que a derivada de é e a derivada de é .
  • Derivada de :
    A derivada de é 3 e a derivada de uma constante, como 1, é 0.

Passo 5

Agora, aplicamos a regra do quociente substituindo , , e na fórmula:

Passo 6

Vamos simplificar o numerador:
Subtraindo:

Passo 7

Então, a derivada simplificada fica:

Resposta

A derivada da função é:

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