Usando a mudança de variável , encontre a solução particular determinada pelas condições iniciais dada.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a equação diferencial e queremos encontrar a solução particular que satisfaz as condições iniciais e . Aqui, vamos usar o método de mudança de variável, definindo . Para resolver isso, precisaremos usar conhecimentos de cálculo diferencial, especialmente sobre equações diferenciais de segunda ordem e técnicas de substituição.

Passo 2

Vamos começar fazendo a substituição . Com isso, a derivada de em relação a será . Substituindo na equação original, temos:

Passo 3

Agora, vamos reescrever essa equação para isolar :
Mas, como , podemos expressar em termos de . A ideia é separar as variáveis para integrar. Contudo, para simplificar, vamos relacionar e diretamente.

Passo 4

Usando a definição , podemos reescrever como:
Substituindo isso na equação anterior:

Passo 5

Agora, podemos simplificar a equação dividindo ambos os lados por (desde que ):
Isso é uma equação diferencial de primeira ordem, que podemos resolver separando as variáveis.

Passo 6

Separando as variáveis, temos:
Agora, integramos ambos os lados:

Passo 7

Integrando, obtemos:
Onde é a constante de integração. Podemos simplificar essa expressão usando propriedades de logaritmos:
Onde é uma nova constante.

Passo 8

Lembrando que , temos:
Essa é uma equação diferencial separável. Vamos separar as variáveis novamente:

Passo 9

Integrando ambos os lados:
A integral do lado esquerdo é:
Então,

Passo 10

Vamos resolver para :
Onde . Vamos escrever:

Passo 11

Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar as constantes e .
Primeiro, quando , :
Isso nos dá:
çã

Passo 12

Também sabemos que . Da equação , substituindo :

Passo 13

Substituindo na Equação 1:

Passo 14

Com e , a equação para fica:
Então,
Mas, considerando a condição inicial que é negativa, escolhemos o sinal negativo:

Resposta

A solução particular que satisfaz as condições iniciais é:

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[1,2] Para cada afirmação dada a seguir, assinale V, se for verdadeira, ou F, se for falsa. Justifique sua resposta em ambos os casos. .
Usando a mudança de variável , encontre a solução particular determinada pelas condições iniciais dada.
Usando a mudança de variável , encontre a solução particular determinada pelas condições iniciais dada.