Usando a mudança de variável
, encontre a solução particular determinada pelas condições iniciais dada.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a equação diferencial
e queremos encontrar a solução particular que satisfaz as condições iniciais
e
. Aqui, vamos usar o método de mudança de variável, definindo
. Para resolver isso, precisaremos usar conhecimentos de cálculo diferencial, especialmente sobre equações diferenciais de segunda ordem e técnicas de substituição.
Passo 2
Vamos começar fazendo a substituição
. Com isso, a derivada de
em relação a
será
. Substituindo na equação original, temos:
Passo 3
Agora, vamos reescrever essa equação para isolar
:
Mas, como
, podemos expressar
em termos de
. A ideia é separar as variáveis para integrar. Contudo, para simplificar, vamos relacionar
e
diretamente.
Passo 4
Usando a definição
, podemos reescrever
como:
Substituindo isso na equação anterior:
Passo 5
Agora, podemos simplificar a equação dividindo ambos os lados por
(desde que
):
Isso é uma equação diferencial de primeira ordem, que podemos resolver separando as variáveis.
Passo 6
Separando as variáveis, temos:
Agora, integramos ambos os lados:
Passo 7
Integrando, obtemos:
Onde
é a constante de integração. Podemos simplificar essa expressão usando propriedades de logaritmos:
Onde
é uma nova constante.
Passo 8
Lembrando que
, temos:
Essa é uma equação diferencial separável. Vamos separar as variáveis novamente:
Passo 9
Integrando ambos os lados:
A integral do lado esquerdo é:
Então,
Passo 10
Vamos resolver para
:
Onde
. Vamos escrever:
Passo 11
Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar as constantes
e
.
Primeiro, quando
,
:
Isso nos dá:
Passo 12
Também sabemos que
. Da equação
, substituindo
:
Passo 13
Substituindo
na Equação 1:
Passo 14
Com
e
, a equação para
fica:
Então,
Mas, considerando a condição inicial
que é negativa, escolhemos o sinal negativo:
Resposta
A solução particular que satisfaz as condições iniciais é:
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[1,2] Para cada afirmação dada a seguir, assinale V, se for verdadeira, ou F, se for falsa. Justifique sua resposta em ambos os casos.
.
Usando a mudança de variável
, encontre a solução particular determinada pelas condições iniciais dada.
Usando a mudança de variável
, encontre a solução particular determinada pelas condições iniciais dada.