Seja um número real, não nulo. Mostrar que, as funções e , são soluções fundamentais da equação diferencial .
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício pede. Temos uma equação diferencial do tipo e duas funções propostas: e . Nosso objetivo é mostrar que essas duas funções são soluções fundamentais dessa equação. Para isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre equações diferenciais lineares de segunda ordem e verificar se as funções dadas realmente satisfazem a equação.
Passo 2
Vamos começar verificando se é uma solução da equação diferencial. Para isso, precisamos calcular a segunda derivada de .
Primeiro, a primeira derivada de :
Agora, a segunda derivada:
Substituindo e na equação diferencial:
Para que seja solução, devemos ter:
Como não é sempre zero, isso implica que:
Vamos assumir para simplificar, já que é apenas uma constante.
Passo 3
Agora, vamos verificar se também é uma solução da equação diferencial. Calculamos a segunda derivada de .
Primeiro, a primeira derivada de :
Agora, a segunda derivada:
Substituindo e na equação diferencial:
Novamente, para que seja solução, devemos ter:
E, assim como antes, isso nos leva a:
Assumindo , confirmamos que também satisfaz a equação diferencial.
Passo 4
Para concluir que e são soluções fundamentais, precisamos verificar se elas são linearmente independentes. Isso significa que nenhuma das funções pode ser escrita como uma combinação linear da outra.
Uma maneira de verificar a independência linear é calcular o Wronskiano dessas funções:
[
W(y_1, y_2) =
]
Calculando o determinante:
Como , o Wronskiano é diferente de zero, o que confirma que e são linearmente independentes.
Resposta
Assim, mostramos que as funções e são soluções fundamentais da equação diferencial .