Verifique se a função dada em cada uma das sentenças abaixo é contínua.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para verificar se a função
é contínua. A função está dividida em duas partes:
A matéria que estamos trabalhando aqui é a continuidade de funções, mais especificamente, funções definidas por partes. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é continuidade e como verificar se uma função é contínua em um ponto específico.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Uma função
é contínua em
se três condições forem satisfeitas:
- A função está definida em
: ou seja, existe. - O limite da função quando
se aproxima de existe. - O limite da função quando
se aproxima de é igual ao valor da função em : .
No nosso caso, a função
muda de definição em
. Então, precisamos verificar a continuidade nesse ponto.
Passo 3
Vamos começar verificando o valor da função em
. Como para
, a função é
, substituímos
:
Então,
.
Passo 4
Agora, vamos calcular o limite da função quando
se aproxima de -1 pela esquerda (valores menores que -1). Para isso, usamos a parte da função
:
Então, o limite pela esquerda é 6.
Passo 5
Em seguida, vamos calcular o limite da função quando
se aproxima de -1 pela direita (valores maiores ou iguais a -1). Aqui, usamos a parte
:
Portanto, o limite pela direita é 5.
Passo 6
Agora, vamos comparar os limites e o valor da função:
Para a função ser contínua em
, os dois limites laterais devem ser iguais entre si e também iguais ao valor da função em
.
Resposta
Como
é diferente de
e também diferente de
, a função
não é contínua em
.
Exercícios relacionados
Verifique se a função dada em cada uma das sentenças abaixo é contínua.
[1 pt] Descreva e esboce o domínio da função
.
[1 pt] Qual das funções abaixo é contínua em todos pontos no plano
. Justifique a resposta.
(a)
(a)
Determine uma região no plano
para a qual a equação diferencial teria uma solução passando por um ponto
na região.
;