Verifique se a função dada em cada uma das sentenças abaixo é contínua.
g(x) = { x² - 4x + 1, se x < -1; 2x + 7, se x ≥ -1 }

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para verificar se a função é contínua. A função está dividida em duas partes:
A matéria que estamos trabalhando aqui é a continuidade de funções, mais especificamente, funções definidas por partes. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é continuidade e como verificar se uma função é contínua em um ponto específico.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Uma função é contínua em se três condições forem satisfeitas:
  1. A função está definida em : ou seja, existe.
  2. O limite da função quando se aproxima de existe.
  3. O limite da função quando se aproxima de é igual ao valor da função em : .
No nosso caso, a função muda de definição em . Então, precisamos verificar a continuidade nesse ponto.

Passo 3

Vamos começar verificando o valor da função em . Como para , a função é , substituímos :
Então, .

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite da função quando se aproxima de -1 pela esquerda (valores menores que -1). Para isso, usamos a parte da função :
Então, o limite pela esquerda é 6.

Passo 5

Em seguida, vamos calcular o limite da função quando se aproxima de -1 pela direita (valores maiores ou iguais a -1). Aqui, usamos a parte :
Portanto, o limite pela direita é 5.

Passo 6

Agora, vamos comparar os limites e o valor da função:
Para a função ser contínua em , os dois limites laterais devem ser iguais entre si e também iguais ao valor da função em .

Resposta

Como é diferente de e também diferente de , a função não é contínua em .

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Verifique se a função dada em cada uma das sentenças abaixo é contínua.
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Determine uma região no plano x y para a qual a equação diferencial teria uma solução passando por um ponto (x0, y0) na região. (x^2 + y^2) * y' = y^2;