[1 ponto] Calcule os resíduos de
nos pontos:
pontos
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o resíduo da função
no ponto
. Vamos usar conceitos de análise complexa, especificamente sobre resíduos em pólos de uma função.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o tipo de pólo que temos em
. Observando a função, vemos que o denominador tem um termo
, o que indica que temos um pólo de ordem 2 (ou um pólo duplo) em
.
Passo 3
Para calcular o resíduo em um pólo de ordem
, utilizamos a seguinte fórmula:
No nosso caso,
e
.
Passo 4
Aplicando a fórmula para
, temos:
Simplificando dentro da derivada:
Passo 5
Agora, precisamos derivar
em relação a
:
Passo 6
Agora, aplicamos o limite quando
se aproxima de 2:
Passo 7
Vamos simplificar
:
Então:
Passo 8
Para simplificar essa fração complexa, multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado do denominador
:
Passo 9
Finalmente, distribuindo o sinal negativo:
Resposta
O resíduo de
no ponto
é
.