[1 ponto] Calcule os resíduos de f(z) = (z + 1) / ((z - 2)^(2) * (z - i)) nos pontos: 0.5 pontos 2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o resíduo da função no ponto . Vamos usar conceitos de análise complexa, especificamente sobre resíduos em pólos de uma função.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o tipo de pólo que temos em . Observando a função, vemos que o denominador tem um termo , o que indica que temos um pólo de ordem 2 (ou um pólo duplo) em .

Passo 3

Para calcular o resíduo em um pólo de ordem , utilizamos a seguinte fórmula:
No nosso caso, e .

Passo 4

Aplicando a fórmula para , temos:
Simplificando dentro da derivada:

Passo 5

Agora, precisamos derivar em relação a :

Passo 6

Agora, aplicamos o limite quando se aproxima de 2:

Passo 7

Vamos simplificar :
Então:

Passo 8

Para simplificar essa fração complexa, multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado do denominador :

Passo 9

Finalmente, distribuindo o sinal negativo:

Resposta

O resíduo de no ponto é .

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