[1 ponto] Calcule os resíduos de nos pontos: pontos .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o resíduo da função no ponto . Vamos usar conceitos de análise complexa, especificamente sobre resíduos em pólos de uma função.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o tipo de pólo que temos em . Observando a função, vemos que o denominador tem um termo , o que indica que temos um pólo de ordem 2 (ou um pólo duplo) em .

Passo 3

Para calcular o resíduo em um pólo de ordem , utilizamos a seguinte fórmula:
No nosso caso, e .

Passo 4

Aplicando a fórmula para , temos:
Simplificando dentro da derivada:

Passo 5

Agora, precisamos derivar em relação a :

Passo 6

Agora, aplicamos o limite quando se aproxima de 2:

Passo 7

Vamos simplificar :
Então:

Passo 8

Para simplificar essa fração complexa, multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado do denominador :

Passo 9

Finalmente, distribuindo o sinal negativo:

Resposta

O resíduo de no ponto é .

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(UFV) As prefeituras das cidades A, B e C construíram uma ponte sobre o rio próximo a estas cidades. A ponte dista 10 km de A, 12 km de B e 18 km de C. O custo da construção, R$ , foi dividido em partes inversamente proporcionais às distâncias das cidades à ponte. Com a construção, a prefeitura da cidade A teve um gasto de:
a.
c. R$ 3.000.000,00
d. e.
(UFSE) Um pai recebeu de abono e vai depositar essa quantia nas cadernetas de poupança de seus filhos e B, em quantias diretamente proporcionais às suas respectivas idades. Se tem 15 anos e tem 18, então a quantia que receberá a menos que é:
a.
b.
c.
d. R$45,00
e.