Usando a série geométrica convergente para |x|<1
11-x=1+x+x^2+cdots=sumn=1^infty x^n-1
Expanda na forma de série potências as funções: f(x)=11+4 x^7

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é expandir a função 11 - x = 1 + x + x^2 + x^3 + cdots = sumn=0^infty x^n em uma série de potências. Para isso, vamos usar a série geométrica que é válida quando :
Vamos adaptar essa fórmula para conseguir expandir a nossa função .

Passo 2

Primeiro, vamos manipular a expressão da função para deixá-la parecida com a série geométrica. Note que:
f(x) = 11 + 4x^7 = 11 - (-4x^7)
Agora, a gente tem algo na forma , onde .

Passo 3

Com essa forma ajustada, podemos aplicar a série geométrica substituindo f(x) = 11 - (-4x^7) = 1 + (-4x^7) + (-4x^7)^2 + (-4x^7)^3 + cdots por f(x) = sumn=0^infty (-4x^7)^n :
Isso fica mais claro assim:

Passo 4

Agora, vamos simplificar os termos da série:
f(x) = sumn=0^infty (-4)^n x^7n
Isso significa que cada termo da série é multiplicado por elevado a .

Resposta

A expansão da função f(x) = sumn=0^infty (-4)^n x^7n = 1 - 4x^7 + 16x^14 - 64x^21 + cdots na forma de série de potências é:

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