Usando a série geométrica convergente para
Expanda na forma de série potências as funções:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para expandirmos a função em uma série de potências. Para isso, vamos usar o conteúdo de séries geométricas convergentes, que nos ajuda a expressar funções como somas infinitas de termos envolvendo potências de .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da fórmula da série geométrica. Sabemos que para ,
Essa série converge quando o valor absoluto de é menor que 1. A ideia é adaptar essa fórmula para a nossa função .

Passo 3

Observamos que na nossa função, o denominador é em vez de . Podemos fazer uma substituição para tornar a expressão similar à série geométrica que conhecemos. Vamos considerar . Assim, nossa função fica:
Agora, sabemos que para , a série geométrica se aplica:

Passo 4

Substituindo de volta por , temos:
Isso significa que cada termo da série é elevado a uma potência múltipla de 5.

Resposta

A expansão em série de potências da função é:
Essa série é válida para .

Exercícios relacionados

Use o teste da comparação do limite para determinar a convergência/divergência das séries:
Usando a série geométrica convergente para
Expanda na forma de série potências as funções:
[1 ponto] Calcule os resíduos de nos pontos: pontos .