Usando a série geométrica convergente para
Expanda na forma de série potências as funções:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para expandirmos a função
em uma série de potências. Para isso, vamos usar o conteúdo de séries geométricas convergentes, que nos ajuda a expressar funções como somas infinitas de termos envolvendo potências de
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da fórmula da série geométrica. Sabemos que para
,
Essa série converge quando o valor absoluto de
é menor que 1. A ideia é adaptar essa fórmula para a nossa função
.
Passo 3
Observamos que na nossa função, o denominador é
em vez de
. Podemos fazer uma substituição para tornar a expressão similar à série geométrica que conhecemos. Vamos considerar
. Assim, nossa função fica:
Agora, sabemos que para
, a série geométrica se aplica:
Passo 4
Substituindo
de volta por
, temos:
Isso significa que cada termo da série é
elevado a uma potência múltipla de 5.
Resposta
A expansão em série de potências da função
é:
Essa série é válida para
.
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Usando a série geométrica convergente para
Expanda na forma de série potências as funções:
[1 ponto] Calcule os resíduos de
nos pontos:
pontos
.