Usando a série geométrica convergente para |x|<1
11-x=1+x+x^2+cdots=sumn=1^infty x^n-1
Expanda na forma de série potências as funções: f(x)=11-x^5

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para expandirmos a função em uma série de potências. Para isso, vamos usar o conteúdo de séries geométricas convergentes, que nos ajuda a expressar funções como somas infinitas de termos envolvendo potências de .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da fórmula da série geométrica. Sabemos que para 11 - x = 1 + x + x^2 + x^3 + cdots = sumn=0^infty x^n ,
Essa série converge quando o valor absoluto de é menor que 1. A ideia é adaptar essa fórmula para a nossa função .

Passo 3

Observamos que na nossa função, o denominador é f(x) = 11 - y em vez de 11 - y = 1 + y + y^2 + y^3 + cdots = sumn=0^infty y^n . Podemos fazer uma substituição para tornar a expressão similar à série geométrica que conhecemos. Vamos considerar . Assim, nossa função fica:
Agora, sabemos que para , a série geométrica se aplica:

Passo 4

Substituindo f(x) = 11 - x^5 = 1 + x^5 + (x^5)^2 + (x^5)^3 + cdots = sumn=0^infty x^5n de volta por , temos:
Isso significa que cada termo da série é elevado a uma potência múltipla de 5.

Resposta

A expansão em série de potências da função 11 - x^5 = sumn=0^infty x^5n = 1 + x^5 + x^10 + x^15 + cdots é:
Essa série é válida para .

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