[1 pt] Qual das funções abaixo é contínua em todos pontos no plano
. Justifique a resposta.
(a)
(a)
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a função
é contínua em todos os pontos do plano
. Vamos usar conceitos de continuidade, propriedades das funções logarítmicas e de valor absoluto para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, lembramos que a função logarítmica
é contínua sempre que o seu argumento
for maior que zero, ou seja,
.
Passo 3
Vamos analisar o argumento do logaritmo na nossa função:
. Como o valor absoluto de qualquer número é sempre não negativo (
e
), a soma
também é não negativa. Portanto:
Isso mostra que
é sempre maior ou igual a 1, ou seja, sempre positivo.
Passo 4
Já que o argumento do logaritmo,
, é sempre positivo para qualquer
no plano
, a função
está bem definida em todos os pontos desse plano.
Passo 5
Além disso, sabemos que as funções de valor absoluto e a soma são contínuas, e a composição de funções contínuas também é contínua. Portanto, a função
combina funções contínuas de maneira que o resultado também é contínuo.
Resposta
A função
é contínua em todos os pontos do plano
.
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Verifique se a função dada em cada uma das sentenças abaixo é contínua.
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Determine uma região no plano
para a qual a equação diferencial teria uma solução passando por um ponto
na região.
;
Mostre que a equação
possui uma solução no intervalo (1,2). (Use o Teorema do Valor Intermediário)