[1 pt] Qual das funções abaixo é contínua em todos pontos no plano R^2. Justifique a resposta.
(a) z = ln (|x| + |y| + 1)

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a função é contínua em todos os pontos do plano . Vamos usar conceitos de continuidade, propriedades das funções logarítmicas e de valor absoluto para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, lembramos que a função logarítmica é contínua sempre que o seu argumento for maior que zero, ou seja, .

Passo 3

Vamos analisar o argumento do logaritmo na nossa função: . Como o valor absoluto de qualquer número é sempre não negativo ( e ), a soma também é não negativa. Portanto:
Isso mostra que é sempre maior ou igual a 1, ou seja, sempre positivo.

Passo 4

Já que o argumento do logaritmo, , é sempre positivo para qualquer no plano , a função está bem definida em todos os pontos desse plano.

Passo 5

Além disso, sabemos que as funções de valor absoluto e a soma são contínuas, e a composição de funções contínuas também é contínua. Portanto, a função combina funções contínuas de maneira que o resultado também é contínuo.

Resposta

A função é contínua em todos os pontos do plano .

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