Determine uma região no plano
para a qual a equação diferencial teria uma solução passando por um ponto
na região.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que pede para determinar uma região no plano
onde a equação diferencial
tem solução passando por um ponto específico
. Isso envolve conhecimentos de equações diferenciais e condições para existência de soluções. Vamos precisar entender onde a equação está bem definida e onde podemos aplicar o teorema de existência e unicidade.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial para facilitar a análise. A equação dada é:
Podemos isolar
:
Isso nos mostra que o valor de
depende das funções
e
. Para que uma solução exista passando pelo ponto
, precisamos que a função à direita seja contínua e diferenciável na região ao redor desse ponto.
Passo 3
Agora, vamos verificar onde a função
está definida. O denominador
não pode ser zero, porque dividir por zero não é permitido. Então, a função está definida sempre que:
Isso significa que o ponto
não pode ser a origem, ou seja,
. Portanto, a região onde a solução pode existir é todo o plano
exceto a origem.
Passo 4
Além disso, pelo Teorema de Existência e Unicidade de Picard-Lindelöf, se a função
e sua derivada parcial em relação a
são contínuas em uma vizinhança do ponto
, então existe uma única solução passando por esse ponto. No nosso caso,
e sua derivada parcial também será contínua desde que
.
Resposta
Portanto, a região no plano
onde a equação diferencial
tem uma solução passando pelo ponto
é todo o plano
menos a origem, ou seja:
Exercícios relacionados
[1 pt] Qual das funções abaixo é contínua em todos pontos no plano
. Justifique a resposta.
(a)
(a)
Verifique se a função dada em cada uma das sentenças abaixo é contínua.
Mostre que a equação
possui uma solução no intervalo (1,2). (Use o Teorema do Valor Intermediário)
[2 pt] Responda com V (verdadeiro) ou F (falso). Não precisa justificar a resposta.
(b) O teorema fundamental do cálculo implica que .
(b) O teorema fundamental do cálculo implica que