Mostre que a equação
2 * x^3 - raiz(x^2 + 3 * x) = 1
possui uma solução no intervalo (1,2). (Use o Teorema do Valor Intermediário)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação juntos! O problema quer que a gente mostre que a equação tem pelo menos uma solução no intervalo entre 1 e 2. Para isso, vamos usar o Teorema do Valor Intermediário, que basicamente nos ajuda a garantir que uma função contínua atinge todos os valores entre dois pontos.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação de uma forma que fique mais fácil de trabalhar. Vamos definir uma nova função:
Assim, queremos encontrar no intervalo (1,2) tal que .

Passo 3

Agora, precisamos garantir que essa função seja contínua no intervalo [1,2]. A função é um polinômio e, portanto, contínua em todo lugar. A função também é contínua porque o que está dentro da raiz, , é sempre positivo para . Como a soma e a subtração de funções contínuas também são contínuas, é contínua no intervalo [1,2].

Passo 4

Vamos agora calcular os valores de nos extremos do intervalo.
Para :
Para :

Passo 5

Segundo o Teorema do Valor Intermediário, se uma função é contínua em um intervalo fechado e é um número entre e , então existe pelo menos um em tal que .
No nosso caso, e . Queremos encontrar , que está entre -1 e 11.84. Como é contínua no intervalo [1,2], pelo Teorema do Valor Intermediário, existe pelo menos um em (1,2) tal que .

Resposta

Portanto, a equação possui pelo menos uma solução no intervalo (1,2).

Exercícios relacionados

Determine uma região no plano x y para a qual a equação diferencial teria uma solução passando por um ponto (x0, y0) na região. (x^2 + y^2) * y' = y^2;
[1 pt] Qual das funções abaixo é contínua em todos pontos no plano R^2. Justifique a resposta.
(a) z = ln (|x| + |y| + 1)
[2 pt] Responda com V (verdadeiro) ou F (falso). Não precisa justificar a resposta.
(b) O teorema fundamental do cálculo implica que integral4^9 raizx d x=raiz9-raiz4.
[2 pt] Responda com V (verdadeiro) ou F (falso). Não precisa justificar a resposta.
(f) Se f(x, y) = x^2 - 2xy, então f(x+y, y) = x^2 - y^2.