Mostre que a equação
possui uma solução no intervalo (1,2). (Use o Teorema do Valor Intermediário)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação juntos! O problema quer que a gente mostre que a equação
tem pelo menos uma solução no intervalo entre 1 e 2. Para isso, vamos usar o Teorema do Valor Intermediário, que basicamente nos ajuda a garantir que uma função contínua atinge todos os valores entre dois pontos.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação de uma forma que fique mais fácil de trabalhar. Vamos definir uma nova função:
Assim, queremos encontrar
no intervalo (1,2) tal que
.
Passo 3
Agora, precisamos garantir que essa função
seja contínua no intervalo [1,2]. A função
é um polinômio e, portanto, contínua em todo lugar. A função
também é contínua porque o que está dentro da raiz,
, é sempre positivo para
. Como a soma e a subtração de funções contínuas também são contínuas,
é contínua no intervalo [1,2].
Passo 4
Vamos agora calcular os valores de
nos extremos do intervalo.
Para
:
Para
:
Passo 5
Segundo o Teorema do Valor Intermediário, se uma função
é contínua em um intervalo fechado
e
é um número entre
e
, então existe pelo menos um
em
tal que
.
No nosso caso,
e
. Queremos encontrar
, que está entre -1 e 11.84. Como
é contínua no intervalo [1,2], pelo Teorema do Valor Intermediário, existe pelo menos um
em (1,2) tal que
.
Resposta
Portanto, a equação
possui pelo menos uma solução no intervalo (1,2).
Exercícios relacionados
Determine uma região no plano
para a qual a equação diferencial teria uma solução passando por um ponto
na região.
;
[1 pt] Qual das funções abaixo é contínua em todos pontos no plano
. Justifique a resposta.
(a)
(a)
[2 pt] Responda com V (verdadeiro) ou F (falso). Não precisa justificar a resposta.
(b) O teorema fundamental do cálculo implica que .
(b) O teorema fundamental do cálculo implica que
[2 pt] Responda com V (verdadeiro) ou F (falso). Não precisa justificar a resposta.
(f) , então
.
(f)