[1 pt] Qual das funções abaixo é contínua em todos pontos no plano
. Justifique a resposta.
(b)
(b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pergunta qual das funções listadas é contínua em todos os pontos do plano
. Estamos analisando a função:
Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser contínua e como a função logarítmica se comporta.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é continuidade. Uma função é contínua em todos os pontos de seu domínio se, para qualquer ponto
no plano, o limite da função quando nos aproximamos desse ponto é igual ao valor da função naquele ponto. Em termos mais simples, não tem “saltos” ou “interrupções”.
Passo 3
Agora, vamos olhar para a função logarítmica,
. A função logarítmica está definida apenas quando seu argumento
é maior que zero, ou seja,
. Se
, a função não está definida.
Passo 4
Aplicando isso à nossa função:
Para que
esteja definida, precisamos que:
Vamos reorganizar isso:
O que sempre é verdade, já que
e
são sempre não negativos. Portanto, para todos os
, a expressão dentro do logaritmo é maior que zero.
Passo 5
Como a expressão dentro do logaritmo está sempre positiva para qualquer
em
, a função
está definida em todos os pontos do plano. Além disso, tanto a função módulo quanto a função logarítmica são contínuas onde estão definidas.
Passo 6
Portanto, a função
é contínua em todos os pontos do plano
.
Resposta
A função
é contínua em todos os pontos do plano
.
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[2 pt] Responda com V (verdadeiro) ou F (falso). Não precisa justificar a resposta.
(d) .
(d)