[1 pt] Qual das funções abaixo é contínua em todos pontos no plano R^2. Justifique a resposta.
(b) z = ln(|x| - |y| + 1)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pergunta qual das funções listadas é contínua em todos os pontos do plano R^2. Estamos analisando a função:
Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser contínua e como a função logarítmica se comporta.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é continuidade. Uma função é contínua em todos os pontos de seu domínio se, para qualquer ponto (x, y) no plano, o limite da função quando nos aproximamos desse ponto é igual ao valor da função naquele ponto. Em termos mais simples, não tem “saltos” ou “interrupções”.

Passo 3

Agora, vamos olhar para a função logarítmica, . A função logarítmica está definida apenas quando seu argumento u é maior que zero, ou seja, . Se , a função não está definida.

Passo 4

Aplicando isso à nossa função:
Para que esteja definida, precisamos que:
Vamos reorganizar isso:
O que sempre é verdade, já que |x| e são sempre não negativos. Portanto, para todos os (x, y), a expressão dentro do logaritmo é maior que zero.

Passo 5

Como a expressão dentro do logaritmo está sempre positiva para qualquer (x, y) em R^2, a função está definida em todos os pontos do plano. Além disso, tanto a função módulo quanto a função logarítmica são contínuas onde estão definidas.

Passo 6

Portanto, a função é contínua em todos os pontos do plano R^2.

Resposta

A função é contínua em todos os pontos do plano R^2.

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[2 pt] Responda com V (verdadeiro) ou F (falso). Não precisa justificar a resposta.
(d) integral1^2 f(x) d x+integral2^3 g(x) d x=integral1^3 f(x)+g(x) d x.