calcule o limite
Passo 1
Vamos calcular o limite
. Esse exercício envolve o estudo de limites em funções de duas variáveis, uma parte importante do cálculo multivariável. Para resolver, precisamos entender como a função se comporta quando
e
se aproximam de zero.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão
. Observamos que temos
, que pode ser expandido usando a série de Taylor para a função exponencial. A série de Taylor para
em torno de
é:
Substituindo
, temos:
Portanto,
Passo 3
Agora, substituímos essa expansão na expressão original:
Simplificando, multiplicamos
por cada termo dentro dos parênteses:
Passo 4
Para analisar o limite quando
, podemos considerar diferentes caminhos de aproximação. Vamos tentar o caminho onde
, onde
é uma constante.
Substituindo
na expressão:
Simplificando:
À medida que
, os termos com
desaparecem, restando:
Passo 5
Observamos que o valor do limite depende do valor de
, ou seja, do caminho pelo qual
se aproxima de
. Como podemos obter diferentes resultados dependendo de
, isso indica que o limite não existe, já que ele não é único.
Resposta
O limite
não existe.
Exercícios relacionados
Calcule:
Determine o valor de
de modo que a função definida por
seja contínua em
.
Calcule:
[1 pt] Qual das funções abaixo é contínua em todos pontos no plano
. Justifique a resposta.
(b)
(b)